Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {\lambda} un réel strictement compris entre {0} et {1}. Prouver qu’il existe un unique x_n>0 tel que {\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}=\lambda\exp x}. Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x_n=+\infty}. |
| Exercice 2. Soit {f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, continue, telle que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\bigl(f(x+1)-f(x)\bigr)=\ell}. Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}x=\ell}. |
| Exercice 3. Soit {f} une fonction continue de {[a,b]} dans {\mathbb{R}}. On suppose que : {\begin{array}{l}\forall\,x\in]a,b[,\;\exists\varepsilon_x>0,\\\\f(x)=\dfrac12(f(x+\varepsilon_x)+f(x-\varepsilon_x))\end{array}}Montrer que {f} est une fonction affine. |
| Exercice 4. Trouver les fonctions continues {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} telles que : {\forall\, (x,y)\in\mathbb{R}^2,f\Bigl(\dfrac{x+y}2\Bigr)=\dfrac{f(x)+f(y)}2} |
| Exercice 5. Trouver les fonctions continues {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} telles que : {(E)\quad\forall x,y:f(x+y)=f(x)+f(y)} |
| Exercice 6. Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction continue. Une partie de {\mathbb{R}} est dite compacte si elle est fermée bornée. Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}|f(x)|=+\infty} si et seulement si l’image réciproque par {f} de tout compact est un compact. |