Limite et continuité en un point (2/3)

Exercice 1.
Étudier la continuité de {f} définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par {f(x)=1-x\left\lfloor\dfrac{1}{x}\right\rfloor}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Exercice 2.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction à la fois {1}-périodique et {\sqrt2}-périodique.
On suppose de plus que {f} est continue en {0}.
Montrer que {f} est constante.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Exercice 3.
On définit {f:\;]0,1[\rightarrow\mathbb{R}} de la manière suivante:

  • Si {x} est irrationnel, {f(x)=0}.
  • Si {x=\dfrac pq} (fraction irréductible), {f(x)=\dfrac 1q}.

Montrer que {f} est continue sur les irrationnels et discontinue sur les rationnels.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Exercice 4.
Soient {f,g} deux fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, continues en {x_{0}}.
Montrer que {\inf (f,g)} et {\sup (f,g)} sont continues en {x_{0}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris.