Limite et continuité en un point (3/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telle que {\begin{array}{l}f(1)=1;\;\forall x\ne0,\;f(x)\,f\Bigl(\dfrac1x\Bigr)=1\;(1)\phantom{\biggl(}\\\forall(x,y)\!\in\!\mathbb{R}^2,\,f(x\!+\!y)\!=\!f(x)\!+\!f(y)\; (2)\end{array}}

  1. Montrer que {f} est impaire.
  2. Prouver que : {\forall\,x\in\mathbb{Q},\;f(x)=x}.
  3. Vérifier que latex]{\forall\,x\in\mathbb{R},\;f(x^2)=f(x)^2}[/latex].
  4. En déduire que {f} est croissante.
  5. Prouver finalement : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;f(x)=x}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 2.
Pour tout {x} de {I=\,]0,1[}, de développement décimal {x=0,r_1r_2\ldots r_n\ldots},
on pose {f(x)=0,r_2r_1r_4r_3\ldots} Étudier la continuité de {f}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 3.
Soit {f} une fonction croissante sur {[a,b]}.
Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 4.
Donner un exemple d’une fonction {f:[0,1]\rightarrow[0,1]}, strictement croissante
et ayant une infinité dénombrable de points de discontinuité.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).