Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction continue. On suppose que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)} existent dans {\mathbb{R}}. Montrer que {f} est bornée sur {\mathbb{R}}. |
| Exercice 2. Soit {f=I\rightarrow \mathbb{R}} une fonction continue sur un intervalle {I}. On suppose {\left|f\right|} constante sur {I}. Montrer que {f} est constante sur {I}. |
| Exercice 3. Soit {f} une fonction continue de {[a,b]} dans lui-même. Montrer qu’il existe un point {x_0} de {[a,b]} tel que {f(x_0)=x_0}. |
| Exercice 4. Soient {f,g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}, continues, telles que {\begin{cases}f(0)=g(1)=0\\f(1)=g(0)=1\end{cases}} Montrer que : {\forall \lambda\ge0,\,\exists\, x_0\in[0,1],\;f(x)=\lambda g(x)}. |
| Exercice 5. Soient {f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, continues, avec : {\forall\, x\in[a,b]}, {0\lt g(x)\lt f(x)}. Montrer : {\exists\,\lambda>1,\;\forall x\in[a,b],\;f(x)\ge \lambda g(x)}. |
| Exercice 6. Soit {f,g} continues sur {[a,b]}, à valeurs réelles, avec {f([a,b])\subset g([a,b])}. Montrer : {\exists\,x_{0}\in[a,b],\;f(x_{0})=g(x_{0})}. |
| Exercice 7. Soit {f\in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})}, décroissante. Montrer que {f} possède un unique point fixe. |