Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction {T}-périodique, avec T\gt0. On suppose que {\displaystyle\lim_{+\infty}f=\ell}. Montrer que {f} est constante. |
| Exercice 2. Soit {f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, avec {g} périodique, {f+g} monotone, et {\displaystyle\lim_{+\infty}f=0}. Montrer que la fonction g est constante. |
| Exercice 3. Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue en {0}. On suppose que {f(0)=0} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}=0}. Montrer que {f} est dérivable en {0}, avec {f'(0)=0}.\phantom{\biggl(} |
| Exercice 4. Soit {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow\mathbb{R}^{+*}}, croissante, telle que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(2x)}{f(x)}=1}. Montrer que : {\forall\,\lambda>0,\;\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(\lambda x)}{f(x)}=1}. |