Limite et continuité en un point (1/3)

Exercice 1.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction {T}-périodique, avec T\gt0.
On suppose que {\displaystyle\lim_{+\infty}f=\ell}. Montrer que {f} est constante.
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Exercice 2.
Soit {f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, avec {g} périodique, {f+g} monotone, et {\displaystyle\lim_{+\infty}f=0}.
Montrer que la fonction g est constante.
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Exercice 3.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue en {0}.
On suppose que {f(0)=0} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}=0}.
Montrer que {f} est dérivable en {0}, avec {f'(0)=0}.\phantom{\biggl(}
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Exercice 4.
Soit {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow\mathbb{R}^{+*}}, croissante, telle que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(2x)}{f(x)}=1}.
Montrer que : {\forall\,\lambda>0,\;\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(\lambda x)}{f(x)}=1}.
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