Intégration sur un intervalle quelconque

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Intégration sur un intervalle quelconque ».

Une série d’intégrales

(Oral CCInp)
On définit, pour

{n\in \mathbb{N}}

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}

Déterminer la limite de

{u_{n}}

lorsque

{n}

{+\infty }

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}

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Continuité d’intégrales à paramètre

Deux exercices sur le thème « continuité des intégrales à paramètre ».

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Nature d’intégrales généralisées

Nature des intégrales généralisées :

{I=\displaystyle\int_0^1\left|1-x^\alpha\right|^\beta\,\text{d}x\;\text{et}\;J=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{\text{d}x}{x^\alpha(1+x^\beta)}}

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Une intégrale généralisée

Trois méthodes pour calculer

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x}\sin(x)\text{d}x}

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Interversion intégrale/série

(Oral Centrale 2018)
Soit

{\displaystyle\sum a_{n}}

une série convergente.
Soit

{S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}

, et

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(u)e^{-u}du=S}

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Étude de la série des 1/n^z

(Oral Centrale 2018)
Déterminer une CNS sur

{z\in\mathbb{C}}

pour que

{\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}

converge.

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Une suite implicite paramétrée

(Oral Centrale 2018)
Soit

{f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}

Étudier la convergence de

{(f_{n})}

. Montrer :

{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}

Étudier

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}

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Deux suites d’intégrales

(Oral Centrale 2018)
On pose

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}

.
De même, soit

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}

.
Déterminer les limites de

{(I_{n})}

{(J_{n})}

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Dérivation d’intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est

{\mathcal{C}^{1}}

. Calculer

{f'}

puis

{f}

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Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}

Montrer que

{f}

est

{C^{2}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer

{\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

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Équivalent d’une suite d’intégrales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}

.
Donner

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}}

et un équivalent simple de

{I_{n}}

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Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

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Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma}

(constante d’Euler)

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Existence d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}

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Intégrale et série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}

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L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}

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Intégrale généralisée en deux temps

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}

.
Convergence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}

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Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x}

tend vers

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}

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Polynômes orthogonaux

(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour

{(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}

On montre qu’ils sont scindés simples sur

{\mathbb{R}}

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Calcul d’une intégrale généralisée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}

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