Espaces préhilbertiens

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Espaces préhilbertiens réels ».

Une base orthonormale

Dans

{E}

préhilbertien réel, soit

{(e_k)_{1\le k\le n}}

unitaires tels que :

{\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}

Montrer que

{(e_k)_{1\le k\le n}}

est une base orthonormée de

{E}

➡️

Éléments propres de M quand MM^T=M^TM

Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{M{M}^{\top}={M}^{\top}M}

.
Montrer que

{M,{M}^{\top}}

ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.

➡️

Noyau de M+M^T quand M²=0

Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, telle que

{M^{2}=0}

.
Montrer que

{\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}

➡️

Conservation de l’orthogonalité

Soit

{E}

un espace vectoriel euclidien, et soit

{f\in{\mathcal L}(E)}

.
On suppose que :

{\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}

Montrer :

{\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}

➡️

Procédé de Gram-Schmidt

On munit

{\mathbb{R}_4[X]}

{\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}

.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique

{1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}

➡️

Une base orthonormale de ℝ[X]

Dans

{\mathbb{R}[X]}

, on pose

{\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}

{\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;}

{\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}

.
1. Montrer que

{(P_{n})_{n\ge0}}

est une famille orthogonale. Calculer

\|P_n\|

.
2. Former une base orthonormale de

{\mathbb{R}_{4}[X]}

➡️

Produit scalaire et linéarité

Soit

{E}

préhilbertien réel, et

{f\colon E\rightarrow E}

une application.
On suppose :

{\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}

. Montrer que

{f}

est linéaire.

➡️

Une condition d’orthogonalité

Soit

u,v

deux vecteurs de

{E}

préhilbertien réel.
On suppose :

{\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}

.
Montrer que

{\left({u}\mid{v}\right)=0}

➡️

Un produit scalaire?

Soit

{a}

unitaire dans

{E}

préhilbertien réel.
Soit

\varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R}

définie par :

{\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}

Pour quels

{\lambda\in\mathbb{R}}

l’application

\varphi_a

est-elle un produit scalaire?

➡️

Inégalité et norme euclidienne

Soient

x,y

dans

{E}

préhilbertien réel.
Montrer que :

{2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}

➡️

Inégalités entre traces

Soit

{A,B}

deux matrices symétriques réelles d’ordre

{n}

.
Montrer que

{\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}

.
Qu’obtient-on par exemple si

{B=I_{n}}

? Cas d’égalité?

➡️

Matrice de projection orthogonale

Matrice de la projection orthogonale de

{\mathbb{R}^{4}}

sur

{F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}

➡️

Base dont l’image est orthogonale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est euclidien. Prouver l’existence d’une base

{(e_{1},\ldots ,e_{n})}

{E}

telle que la famille

{(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))}

soit orthogonale.

➡️

Chebyshev et produit scalaire

(Oral X-Cachan Psi)
On munit

{{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}

du produit scalaire

{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}

On définit les

{U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}

.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin

{f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}}

par un polynôme de degré

{\le 2}

➡️

Une approximation quadratique

(Oral Ccp)
On munit

\mathbb{R}[X]

du produit scalaire :

{\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

Calculer

{\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)}

pour

{(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}

Pour

{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}

, on pose :

{f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

Déterminer le minimum de

f

sur

{\mathbb{R}^{n}}

➡️

Un orthogonal non supplémentaire

On munit

{E=\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})}

du produit scalaire

{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\text{d}t}

Soit

{\begin{cases}F=\{f\in E,\;\forall t\in[-1,0],\;f(t)=0\}\\[3pts]G=\{g\in E,\;\forall t\in[0,1],\;g(t)=0\}\end{cases}}

Montrer que

{\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ }

mais que

F

G

ne sont pas supplémentaires dans

E

➡️