Équations différentielles linéaires d’ordre 2

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr dans la catégorie « Équations différentielles linéaires d’ordre 2 ».

Équation différentielle du 2nd ordre

(Oral Centrale) Soit

{q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}}

continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur

{\mathbb{R}^{+}}

de l’équation différentielle

{\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}

➡️

Équation fonctionnelle et série entière

(Oral Centrale) On considère l’unique fonction

{\mathcal{C}^\infty}

vérifiant

{y^3(x)+y(x)+x=0}

. On vérifie que

{y(x)}

satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que

{y(x)}

est développable en série entière.

➡️

Intégrale et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
On admet que

{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}

.
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}

.
Montrer que

{2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}

.
En déduire

{I(x)}

.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.

➡️

Probabilités et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

deux v.a.r. suivant la loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Déterminer la probabilité que les solutions de :

{(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0}

tendent vers

{0}

{+\infty}

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Suite de solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}

.
Soit

{y_{n}}

la solution telle que

{y_{n}(0)=0}

{y_{n}'(0)=1}

.
Montrer que la suite

{(y_n)}

converge uniformément sur tout segment de

{\mathbb{R}^+}

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Autour du lemme de Gronwall

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}

, croissante.
Soit

{f}

une solution de

{f''+qf=0}

.
Montrer que

{f}

est bornée.

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Parité des solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}

.
On suppose

{a,b}

continues sur

{\mathbb{R}}

. À quelle condition sur

{a,b}

existe-t-il une base de

{\mathcal{S}(E)}

formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?

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Une équation différentielle

(Oral Centrale Mp)
On étudie une solution particulière de

{(1-x)^3y''(x)=y(x)}

➡️

DSE de arcsin²(x)

Développer

{f(x)=\arcsin^{2}(x)}

en série entière.

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Équation différentielle y″=(1+x⁴)y

(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de

{(\star):\; y''=(1+x^{4})y}

, connaissant la solution, notée

f

, telle que

{f(0)=f'(0)=1}

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Une équation intégrale

(Oral X-Cachan)
Résoudre dans

{\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

{\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}

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Équation différentielle de Legendre

(Oral X-Cachan Psi)
On note

{U_{n}=(X^{2}-1)^{n}}

{P_{n}=U_n^{(n)}}

.
1. Montrer que

{P_{n}}

vérifie

{(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}

.
2. Donner les solutions

{\mathcal{C}^{2}}

{(E)}

sur

{[-1,1]}

.
3. Montrer que les

P_n

sont orthogonaux pour

{(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

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Équation différentielle y"+f(x)y = 0

(Oral Tpe& XEns)
On étudie l’équation

{(E): y'' + f(x)y = 0}

, où

{f}

est continue intégrable sur

{\mathbb{R}}

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Équa. différentielle et série entière

(Oral Ensea)
Solutions développables en série entière de

{(E): 4xy'' - 2y' + 9x^{2}y = 0}

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Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Pour

{f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}

, soit

{\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}

.
On demande les éléments propres de

{\Phi}

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Équa. diff. linéaire d’ordre 2

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur

{]-1,1[}

, l’équation différentielle :

{4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}

➡️