Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Série entière et dérangements

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{D_{n}}

le nombre de permutations de

{\{1,\ldots,n\}}

sans point fixe (par convention,

{D_0=1}

).
Soit la série entière

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}

.
Montrer

{\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!}

et calculer

{e^{x}f(x)}

.
En déduire

{D_{n}}

sous forme de somme alternée.

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Série entière et nombres de Catalan

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}

.
Calculer

{a_{n}}

pour tout

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Série entière et suite récurrente

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=a_{1}=1}

puis

{a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}

.
Que peut-on dire du rayon

{R}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n}

?
Trouver

{f(x)}

et exprimer les

{a_{n}}

à l’aide d’une somme.

➡️

Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

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Série de fonctions et série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

est développable en série entière sur

{]-1,1[}

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Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma}

(constante d’Euler)

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Existence d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
On note

{u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}

.
Domaine, continuité et limites aux bornes de

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}

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Une petite série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer la nature de

{\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}

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Un développement asymptotique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{x_n}

la racine de

{x^{3n}-3nx+1}

dans

{[1,+\infty[}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{x_{n}=1\!+\!a\dfrac{\ln n}{{n}}\!+\!\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}

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Norme sur fonctions lipschitziennes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur

{[0,1]}

.
Pour tout

{f\in E}

, soit

{K(f)}

la borne inférieure des

{k}

tels que

{f}

soit

{k}

-lipschitzienne.
Montrer que

{N(f)=|f(0)|+K(f)}

est une norme. La comparer avec

{\|\;\|_{\infty}}

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Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S⁺(E)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

euclidien et

{u\in S^{+}(E)}

l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans

{\mathbb{R}^{+}}

Soit

{u}

{v\in S^{+}(E)}

. Montrer que

{\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)}

{\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}

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Moyenne des itérées d’une isométrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, soit

{a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}

.
Montrer que

{\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}

.
Étudier la suite

{N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}

➡️

det(u+v) ≥ det(u) + det(v)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace euclidien, et

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

tels que :

{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}

Montrer que

{\det (u+v)\geq \det u+\det v}

.
Étudier le cas d’égalité.

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Exponentielle de matrice

(Oral Mines-Ponts 2018)
On étudie l’application

{A\mapsto\exp(A)}

dans

{\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}

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Une condition d’antisymétrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est antisymétrique si et seulement si :

{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP}

est à diagonale nulle.

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Projecteur et transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les matrices

{M}

de projecteurs telles que

{M^{T}M=M\,M^{T}}

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Série entière à coefficient intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}

. Rayon

{R}

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

puis convergence en

{\pm R}

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Duo de séries entières

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(u_{n})}

une suite bornée, et

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}

.
Rayons de

{u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}

.
Relation entre

{u'}

{S'}

{S}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}}

quand

{u_{n}=(-1)^{n}}

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Intégrale et série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}

➡️