Exercices corrigés de Mathprepa pour le chapitre « Suites et séries de fonctions », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, etc.)
(Oral Ensam)
Soit {h} une fonction continue sur [0,\pi/2].
Étudier la convergence de la suite de fonctions {f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}.
(Oral Ensam et Centrale)
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
(Oral Centrale)
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
(Oral Centrale)
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}
(Oral Ccp)
On définit les x\mapsto f_n(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+n^{2})\ln(n)}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge2}f_n} est CVU mais pas CVN sur \mathbb{R}.
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions {M}-lipschitziennes sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f\colon [0,1]\rightarrow\mathbb{R}}.
Montrer que la convergence est uniforme.
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions croissantes et continues sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f} continue. Montrer que la convergence est uniforme.