Suite des itérées d’une fonction
(Oral Centrale)
Convergence sur [0,1]de la suite des itérées de {\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}
Convergence sur [0,1]de la suite des itérées de {\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}
Suites et séries de fonctions
Convergence d’une suite de fonctions
(Oral Ensam)
Soit {h} une fonction continue sur [0,\pi/2].
Étudier la convergence de la suite de fonctions {f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}.
Soit {h} une fonction continue sur [0,\pi/2].
Étudier la convergence de la suite de fonctions {f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}.
Dérivabilité de la fonction Zeta
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Séries de primitives
(Oral Ensam et Centrale)
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
Équivalent d’une somme de série
Somme d’une série de fonctions
(Oral Centrale)
Étude de la série de fonctions {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
Étude de la série de fonctions {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
Une équation fonctionnelle
(Oral Centrale)
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
Une série de fonctions
(Oral Centrale)
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}
Une suite de fonctions
(Oral Ccp)
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*}, {f_n:x\mapsto x\,n^{1-x^2}}.
Convergence simple et uniforme de la suite (f_n)_{n\geq 1\quad}
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*}, {f_n:x\mapsto x\,n^{1-x^2}}.
Convergence simple et uniforme de la suite (f_n)_{n\geq 1\quad}
Convergence uniforme non normale
(Oral Ccp)
On définit les x\mapsto f_n(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+n^{2})\ln(n)}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge2}f_n} est CVU mais pas CVN sur \mathbb{R}.
On définit les x\mapsto f_n(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+n^{2})\ln(n)}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge2}f_n} est CVU mais pas CVN sur \mathbb{R}.
Fonctions équi-lipschitziennes
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions {M}-lipschitziennes sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f\colon [0,1]\rightarrow\mathbb{R}}.
Montrer que la convergence est uniforme.
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions {M}-lipschitziennes sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f\colon [0,1]\rightarrow\mathbb{R}}.
Montrer que la convergence est uniforme.
Convergence uniforme
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions croissantes et continues sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f} continue. Montrer que la convergence est uniforme.
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions croissantes et continues sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f} continue. Montrer que la convergence est uniforme.