Développements en série entière

On trouvera ici les exercices corrigés du chapitre « Séries entières » dans la catégorie « Développements en série entière ».

Somme d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{(3n)!}}

(Oral Centrale)
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que

{4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}

(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière

{f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel

{x}

{\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}

(Oral X-Cachan Psi)
On forme la série génératrice attachée à une suite

(c_n)

définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme

P

. En utilisant la factorisation de

P

, on trouve l’expression des

c_n

et le rayon de convergence de

f

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}}

(distance distance à

{\mathbb{Z}}

).
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}}

DSE de rayon

+\infty

.
Soient

{g\in E}

{q\in\mathbb{C}}

, et l’équation :

{(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}

où

{f}

est cherchée dans

{E}

.
Selon

q

, on étudie l’existence d’un solution à (*).

(Oral Centrale)
Développer

{f\colon x\mapsto \text{arctan}(1+x)}

en série entière.

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de

{g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}