Séries entières et sommes harmoniques
(Oral centrale) On étudie une méthode de calcul de la somme de la série entière {\sum P(n)H_nx^n}, où {P} est un polynôme et où {H_n} est le {n}-ième nombre harmonique.
Séries entières et produits de Cauchy
Suites récurrentes et produit de Cauchy
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.
Limite d’une suite récurrente
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite telle que {a_{0}=1} et :
{\forall\, n\geq1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k}}{(n-k)!}=1\quad(\star)}Montrer que, pour tout {n\in \mathbb{N}}, {a_{n}\in \lbrack 0,1]}.
Calculer la limite de la suite {(a_{n})}.
Soit {(a_{n})} une suite telle que {a_{0}=1} et :
{\forall\, n\geq1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k}}{(n-k)!}=1\quad(\star)}Montrer que, pour tout {n\in \mathbb{N}}, {a_{n}\in \lbrack 0,1]}.
Calculer la limite de la suite {(a_{n})}.
Séries entières et intégrales
(Oral Centrale)
Soit {R>0} le rayon de convergence de {S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
Pour {r\in \lbrack 0,R[}, on montre que :{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}On voit deux méthodes très différentes.
Soit {R>0} le rayon de convergence de {S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
Pour {r\in \lbrack 0,R[}, on montre que :{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}On voit deux méthodes très différentes.
Série entière et nombres de Catalan
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}.
Calculer {a_{n}} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
On pose {a_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}.
Calculer {a_{n}} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Produits de Cauchy
Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».
Série entière et produit de Cauchy
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
Série entière et coefficients binomiaux
(Oral Centrale)
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
Un développement en série entière
(Oral X-Cachan Psi)
On forme la série génératrice attachée à une suite (c_n) définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme P. En utilisant la factorisation de P, on trouve l’expression des c_n et le rayon de convergence de f
On forme la série génératrice attachée à une suite (c_n) définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme P. En utilisant la factorisation de P, on trouve l’expression des c_n et le rayon de convergence de f
Développement en série entière
(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de {g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}.
Déterminer le rayon de {g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}.