Calculs de rayon de convergence

On trouvera ici les exercices corrigés du chapitre « Séries entières » dans la catégorie « Calculs de rayon de convergence ».

Une série et un rayon de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t}

{a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

converge, et que

{\displaystyle\lim_{+\infty}F}

existe.
Déterminer le rayon de convergence

{R}

{\displaystyle\sum a_n x^n}

➡️

Quelques rayons de convergence

Cinq exercices sur le thème « Rayon de convergence de séries entières ».

➡️

Condition de nullité d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

de rayon

{R\ne0}

.
On suppose qu’il existe une suite

{(z_{p})}

{\mathbb{C}^*}

tendant vers

{0}

, telle que

{f(z_{p})=0 }

pour tout

{p}

.
Montrer que

{f}

est nulle.

➡️

D’autres rayons de convergence

Quatre exercices sur le thème “Rayon de convergence de séries entières”.

➡️

Série entière et série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Rayon de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}

, où

{a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}

➡️

Comparaison de rayons de CV

(Oral Mines-Ponts)
Comparer les rayons de

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

{\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}

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Étude de rayons de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

R

le rayon de convergence de

{\sum a_{n}x^{n}}

.
Trouver ceux de

{\sum a_{n}x^{2n}}

{\sum a_{n}^{2}x^{n}}

{\sum a_{n}x^{n^{2}}}

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Une série entière millésimée

(Oral Mines Ponts)
Rayon

{R}

et calcul de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}

➡️

Rayon de convergence de ∑ tr(A^k)z^k

(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Donner le rayon de

{\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}

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Rayon et somme d’une série entière

(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}

➡️

Rayon(s) de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

R

le rayon de

{\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}

, et

{S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}

.
Montrer :

{R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}

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Comparaison de rayons de convergence

(Oral Centrale)
Soit

{(a_{n})}

une suite de complexes non nuls.
Comparer les rayons de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}

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Une série génératrice

(Oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}

.
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}

est de rayon

{R\ge\dfrac{1}{3}}

.
On admet la relation :

{na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}

(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer

{R}

. Exprimer

{f(x)}

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