Polynôme caractéristique

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr (chapitre « Réduction des endomorphismes ») dans la catégorie « Polynôme caractéristique ».

Une condition d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
On suppose

\dim(E)=n

. Soit

{f\in \text{GL}(E)}

, et

{g\in \mathcal{L}(E)}

avec

{\text{rg}(g)=1}

.
Montrer que

{f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}

➡️

Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.
Calculer

{\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}

. En déduire

{\text{Sp}(A_{n})}

➡️

Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Un polynôme caractéristique

(Oral Tpe)
Déterminer

\chi_{A}

pour

{A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}

, sachant que

{\text{tr}(A)=2}

{A^3+A^2=2A}

➡️

Produit scalaire et déterminant

(Oral Ccp)
Soit

{A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que :

{\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}

➡️

Égalité matricielle et valeurs propres

(Oral Tpe)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

vérifiant :

{A^2+A+4I_n=0}

.
Calculer le déterminant et la trace de

{A}

en fonction de

n

➡️

Égalité matricielle et déterminant

(Oral Ensam)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

telle que

{A^3+A-I_n=0}

. Montrer que

{\det(A)>0}

➡️

Matrice inversible? diagonalisable?

(Oral Centrale)
On étudie l’inversibilité et la diagonalisabilité d’une matrice carrée d’ordre

4

➡️

Matrices à diagonale propre

(Oral Centrale)
On dit que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

vérifie

{(\mathcal{P})}

si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété

{(\mathcal{P})}

soit vérifiée.

➡️

Pas de sev stable de dim ≥ 1

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}

{\Phi\in\mathcal{L}(E)}

défini par

{\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\Phi}

ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie

{n\ge1}

E

➡️

Égalité AC=CB avec C de rang r

(Oral Centrale)
Soient

A, B,C\in\, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})

avec

AC=CB

soit

r=\text{rg}(C)

. Montrer que

A,B

ont au moins

r

valeurs propres en commun (comptées avec leur ordre de multiplicité).

➡️