Fonction génératrice

(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après

2n

parties.

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Une loi de probabilité

(Oral Tpe)
Étude de la loi de

X

définie par :

{\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}

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Probabilités et urne bicolore

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2a}

boules blanches et

{a}

boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit

{X}

le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de

X

{E(X)}

(deux méthodes)

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Fonction d’une loi de Poisson

(Oral Centrale)
Soit

{X}

une v.a.r. telle que

{X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}

.
Si

{X}

est paire, on pose

{Y = X\text{/}2}

, et

{Y=0}

sinon.
Donner la loi de

{Y}

, son espérance et sa variance.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme

\varphi

{\mathbb{R}_{N}[X]}

dans la base canonique.
Si

{t\mapsto G_{n}(t)}

est la fonction génératrice de

{X_{n}}

, on voit que

{G_{n+1}=\varphi(G_{n})}

.
On retrouve alors la relation

{\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}

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