Probabilités conditionnelles

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Probabilités » et dans la catégorie « Probabilités conditionnelles ».

Un nombre géométrique de lancers

(Oral Mines-Ponts)
On lance

{N}

fois une pièce, où

{N\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Soit

{X}

le nombre de faces obtenu.
Déterminer la loi de

{X}

.

Pics dans des tirages sans remise

(Oral Mines-Ponts)
Dans une urne,

{n}

boules numérotées de 1 à

{n}

.
On effectue

{n}

tirages successifs sans remise.
Soit

{X_{k}}

le numéro de la boule tirée à l’étape

{k}

.
On dit qu’il y a un pic si

{X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}

.
Donner l’espérance du nombre de pics.

Formule de Bayes

Deux exercices sur le thème « formule de Bayes ».

Boules et urnes

On considère trois urnes :

{U_{1}}

(deux boules blanches et trois rouges),

{U_{2}}

(deux boules vertes et quatre blanches),

{U_{3}}

(cinq boules noires et deux rouges).
On tire une boule

{U_{1}}

et on la met dans

{U_{2}}

. Idem de

{U_{2}}

vers

{U_{3}}

. Enfin on tire une boule dans

{U_{3}}

.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?

Mme Michu cherche son parapluie

Mme Michu cherche son parapluie qui se trouve (peut être!) dans l’un des 7 étages de son immeuble…

Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)
Pour

{k\in [[1,p]]}

, l’urne numéro

{k}

contient

{k}

boules noires et

{p-k}

boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire

{2n}

boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu

{n}

boules noires? Quelle est sa limite quand

p\to+\infty

?

Égalités dans un jeu à deux

(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après

2n

parties.

Probabilités et urne bicolore

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2a}

boules blanches et

{a}

boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit

{X}

le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de

X

et

{E(X)}

(deux méthodes)

Calcul d’une espérance

Une urne contient

{b}

boules blanches et

{r}

rouges.
On effectue des tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro

X

du tirage de la dernière boule blanche.