Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{n})_{n\geq 1}}

des v.a.r. indépendantes telles que :

{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}

Montrer que

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

prend presque sûrement une infinité de fois la valeur

{k}

➡️

Le plus petit numéro tiré

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans une urne de

{N}

boules numérotées de

{1}

{N}

, on réalise

{n}

tirages avec remise. On note

{X_{N}}

le plus petit numéro tiré. Calculer

{E(X_{N})}

puis un équivalent de

{V(X_N)}

quand

{N\to+\infty}

➡️

Équation différentielle et prolongement

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle

{(E)}

{2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}

.
Résoudre

{(E)}

sur

{]-\infty ,0[}

{]0,1[}

{]1,+\infty \lbrack}

.
Montrer que

{(E)}

a une unique solution sur

{]-\infty ,1[}

.
Montrer que cette solution est

{\mathcal{C}^{\infty}}

➡️

Dérivation d’intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est

{\mathcal{C}^{1}}

. Calculer

{f'}

puis

{f}

➡️

Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}

Montrer que

{f}

est

{C^{2}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer

{\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

➡️

Équivalent d’une suite d’intégrales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}

.
Donner

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}}

et un équivalent simple de

{I_{n}}

➡️

Série entière (très) lacunaire

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le rayon de convergence de

{f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}

.
Donner un équivalent de

{f(x)}

quand

{x\to1}

➡️

Étude locale d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer le rayon

{R}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\tan \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) x^{n}}

.
Convergence en

{\pm \ R}

? Déterminer

{\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)f(x)}

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Série entière et dérangements

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{D_{n}}

le nombre de permutations de

{\{1,\ldots,n\}}

sans point fixe (par convention,

{D_0=1}

).
Soit la série entière

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}

.
Montrer

{\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!}

et calculer

{e^{x}f(x)}

.
En déduire

{D_{n}}

sous forme de somme alternée.

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Série entière et nombres de Catalan

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}

.
Calculer

{a_{n}}

pour tout

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Série entière et suite récurrente

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=a_{1}=1}

puis

{a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}

.
Que peut-on dire du rayon

{R}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n}

?
Trouver

{f(x)}

et exprimer les

{a_{n}}

à l’aide d’une somme.

➡️

Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

➡️

Série de fonctions et série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

est développable en série entière sur

{]-1,1[}

➡️

Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma}

(constante d’Euler)

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Existence d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
On note

{u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}

.
Domaine, continuité et limites aux bornes de

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}

➡️

Une petite série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer la nature de

{\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}

➡️

Un développement asymptotique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{x_n}

la racine de

{x^{3n}-3nx+1}

dans

{[1,+\infty[}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{x_{n}=1\!+\!a\dfrac{\ln n}{{n}}\!+\!\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}

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Norme sur fonctions lipschitziennes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur

{[0,1]}

.
Pour tout

{f\in E}

, soit

{K(f)}

la borne inférieure des

{k}

tels que

{f}

soit

{k}

-lipschitzienne.
Montrer que

{N(f)=|f(0)|+K(f)}

est une norme. La comparer avec

{\|\;\|_{\infty}}

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Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S⁺(E)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

euclidien et

{u\in S^{+}(E)}

l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans

{\mathbb{R}^{+}}

Soit

{u}

{v\in S^{+}(E)}

. Montrer que

{\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)}

{\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}

➡️