Intégrales à paramètre

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr dans la catégorie « Intégrales à paramètre ».

Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}

Montrer que

{f}

est

{C^{2}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer

{\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

➡️

L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}

➡️

Intégrale généralisée en deux temps

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}

.
Convergence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}

➡️

Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)

(Oral Centrale Mp)
Étude de l’intégrale à paramètre

{f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}

➡️

J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (3/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(3/3)

➡️

J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)

(Oral Centrale Mp)

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(2/3)

➡️

J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(1/3)

➡️

La fonction Gamma d’Euler

On introduit la fonction

{\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

.
On étudie ses propriétés (relation fonctionnelle, caractère

\mathcal{C}^{\infty}).

➡️

Encore une intégrale à paramètre

Pour tout réel

{x}

, montrer que :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(xt)}{t}\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\arctan(x)}

➡️

Calcul d’une intégrale à paramètre

Montrer :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\text{e}^{-x^{2}/4}}

➡️

Une intégrale généralisée (2/2)

Existence et calcul de

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t}-\text{e}^{-xt}}{t}\text{d}t}

➡️

Intégrale de Lejeune-Dirichlet

Étudier la fonction

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}

.
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}

➡️

Intégrale de Gauss

Dérivabilité de

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}

.
En déduire

{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}

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Minimum d’une intégrale à paramètre

(Oral X-Cachan Psi)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}

.
Étudier

{f}

sur son domaine, et trouver son minimum.

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Suite d’intégrales à paramètre

(Oral X-Cachan)
Soit

{\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}

, continue et bornée. On pose :

{\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}

.
On montre que les

{\varphi_{n}}

sont

{{\mathcal C}^{1}}

et CVS vers

{\varphi}

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Itérés d’un opérateur à noyau

(Oral X-Cachan)
Soit

{K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})}

avec

{K(x,y) = 0}

{x\le y}

.
À

{u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}

, on associe

{v=T_{K}(u)}

définie par :

{\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}

.
On étudie les itérés de

T_K

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}

.
On étudie son domaine

\mathcal{D}

, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.

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Une intégrale à paramètre

(Oral Ensam)
Étudier

{x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}

➡️