Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
Espaces préhilbertiens réels 2
Somme des distances à une droite
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de {p} points.
Conservation des distances et linéarité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {f\colon E\to E} vérifiant {f(0)=0} et :{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}Montrer que {(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}
Montrer que {f} est linéaire.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {f\colon E\to E} vérifiant {f(0)=0} et :{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}Montrer que {(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}
Montrer que {f} est linéaire.
Projection orthogonale sur un plan
Soit {\mathbb{R}^{3}} euclidien, muni de la base canonique.
Soit {P} le plan vectoriel orthogonal à {n=(1,1,1)}.
Donner la matrice {A} de la projection orthogonale {\pi} sur {P}.
Soit {P} le plan vectoriel orthogonal à {n=(1,1,1)}.
Donner la matrice {A} de la projection orthogonale {\pi} sur {P}.
Famille obtusangle
(Oral Centrale)
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.
Montrer que {(e_{1},\ldots,e_{p-1})} est libre. Conséquence?
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.
Montrer que {(e_{1},\ldots,e_{p-1})} est libre. Conséquence?
Forme linéaire et produit scalaire
On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Une base orthonormale
Dans {E} préhilbertien réel, soit {(e_k)_{1\le k\le n}} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.
Conservation de l’orthogonalité
Soit {E} un espace vectoriel euclidien, et soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
Procédé de Gram-Schmidt
On munit {\mathbb{R}_4[X]} de {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Une base orthonormale de ℝ[X]
Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}, {\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;} et {\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
Produit scalaire et linéarité
Soit {E} préhilbertien réel, et {f\colon E\rightarrow E} une application.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
Une condition d’orthogonalité
Soit u,v deux vecteurs de {E} préhilbertien réel.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
Un produit scalaire?
Soit {a} unitaire dans {E} préhilbertien réel.
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?
Inégalité et norme euclidienne
Soient x,y dans {E} préhilbertien réel.
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
(f(x)|f(y))=(x|y) implique f linéaire
(Oral X-Cachan)
Soit {({E,\left({\cdot}\mid{\cdot}\right))}} un espace euclidien.
Soit {f:E\rightarrow E} telle que {\forall\, (x,y)\in {E^{2}}}, {\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left({x}\mid{y}\right)}.
Montrer que {f} est linéaire.
Soit {({E,\left({\cdot}\mid{\cdot}\right))}} un espace euclidien.
Soit {f:E\rightarrow E} telle que {\forall\, (x,y)\in {E^{2}}}, {\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left({x}\mid{y}\right)}.
Montrer que {f} est linéaire.