Espaces préhilbertiens réels 2

Exercices corrigés

Une base orthonormale

Dans {E} préhilbertien réel, soit {(e_k)_{1\le k\le n}} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.

Conservation de l’orthogonalité

Soit {E} un espace vectoriel euclidien, et soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.

Un produit scalaire?

Soit {a} unitaire dans {E} préhilbertien réel.
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?