Dérivabilité 2

Exercices corrigés sur le thème « Dérivabilité », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, Ensam, etc.)

Majoration optimale d’une intégrale

(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de

{f}

sur

{[0,1}

, où

{f}

décrit l’espace des fonctions de classe

{\mathcal{C}^2}

sur

{[0,1]}

et telles que

{f(0)=f(1)=f'(1)=0}

(Oral Centrale) On étudie et on compare une famille (dépendant d’un paramètre

{p}

) de fonctions qui réalisent une moyenne de deux réels strictement positifs.

(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.

(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées

{n}

-ièmes des fonctions définies par

{f(x)=exp(1/(1-x^2))}

{g(x)=exp(1/(1+x^2))}

(Oral Tpe)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

.
On suppose que

{K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}}

est infini.
Montrer que

{P}

est constant.

(Oral Mines-Ponts)
On considère l’équation d’inconnue

{f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})}

{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}

Montrer que toute solution

{f}

est

{C^{\infty}}

sur

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Déterminer toutes les solutions de

{(E)}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}

(oral Mines-Ponts)
Montrer que

{\forall\, x}

{y\in \mathbb{R}^{+*}}

{\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}

Soit

{f}

une application dérivable sur

{[a,b]}

.
Montrer que

{f'}

prend toutes les valeurs comprises entre

{f'(a)}

{f'(b).\quad}