Itérations de f(M)=(AM+MA)/2
(Oral Centrale) On se donne une matrice {A} carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de {\mathcal{M}_3(\mathbb{K})} défini par {f(M)=(AM+MA)/2}.
Projections et symétries
Équation au crochet de Lie
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
Projecteur composé de nilpotents
(Oral Mines-Ponts)
Pour {1\le i,j,k\le n}, soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
Soit {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.
Pour {1\le i,j,k\le n}, soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
Soit {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.
Moyenne des itérés de u quand um = Id
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Projecteurs de somme IdE
Soit {E} un {\mathbb{K}}-ev de dimension finie, et {p_1,\ldots,p_n} des projecteurs tels que {\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Projecteur p vérifiant u = pu – up ?
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u} un endomorphisme d’un \mathbb{K}-espace vectoriel {E}.
À quelle condition existe-t-il un projecteur {p} de {E} vérifiant {u= pu-up\,}?
Soit {u} un endomorphisme d’un \mathbb{K}-espace vectoriel {E}.
À quelle condition existe-t-il un projecteur {p} de {E} vérifiant {u= pu-up\,}?
Moyenne de permutations
(Oral Centrale)
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.
Sommes de projecteurs
(Oral X-Cachan)
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée A puisse s’écrire comme la somme de k matrices de projections A_1,A_2,\ldots,A_k vérifiant les égalités A_iA_j=0 pour tous i\ne j.
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée A puisse s’écrire comme la somme de k matrices de projections A_1,A_2,\ldots,A_k vérifiant les égalités A_iA_j=0 pour tous i\ne j.
Matrice de projecteur
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}.
Déterminer {(x,y,z)} pour que {AB} soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer {BA}.
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}.
Déterminer {(x,y,z)} pour que {AB} soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer {BA}.