Séries entières (3/3)

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Fonctions développables

D. Développement sur ]-r,r[

Soit

{f :I\to \mathbb{K}}

une fonction définie sur un intervalle ouvert

{I}

contenant

{0}

.
Soit

{r\gt0}

avec

{]-r,r[\subset I}

.
On dit que

{f}

est développable en série entière sur

{]-r,r[}

s’il existe une série entière

{\sum\limits a_n x^n}

(de rayon de convergence au moins égal à

{r}

) telle que :

{\forall\, x\in]-r,r[,\; f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_nx^n}

R. Domaine et rayon de convergence

La définition précédente suppose que

{]-r,r[}

est inclus dans l’intervalle de définition

{I}

{f}

, et que

{r}

est inférieur ou égal au rayon de convergence de la série entière

{\sum\limits a_n x^n}

Dans les deux cas, il peut y avoir inclusion (ou inégalité) stricte. Considérons par exemple la fonction ${f}$ définie sur ${\mathbb{R}}$ par ${f(x)=\dfrac1{1+x^2}}$ .
Pour tout ${x}$ de ${]-1,1[}$ , on a ${f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}}$ .
Ainsi ${f}$ est développable en série entière sur ${]-1,1[}$ .
Le rayon de convergence de cette série entière vaut ${1}$ . Bien sûr ${f(x)}$ existe encore en dehors de ${]-1,1[}$ , mais ne peut plus être représenté par cette série entière.

Enfin, rien ne nous empêche de poser ${f(x)=\dfrac1{1+x^2}}$ sur ${\Big[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\Big]}$ et de prolonger ${f}$ arbitrairement en dehors de cet intervalle.
On a alors ${f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}}$ seulement sur ${\Big[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\Big]}$ , alors que le rayon vaut ${1}$ .

D. Série de Taylor d'une fonction C^∞

Soit

{f :I\to \mathbb{K}}

une fonction de classe

{\mathcal{C}^{\infty}}

sur un intervalle ouvert

{I}

contenant

{0}

.
On appelle série de Taylor de

{f}

la série entière

{\sum\limits \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n}

P. Nécessité de la série de Taylor

Soit

{f :I\to \mathbb{K}}

une fonction définie sur un intervalle ouvert

{I}

contenant

{0}

.
Si

{f}

est développable en série entière sur

{]-r,r[}

, alors

{f}

est de classe

{\mathcal{C}^{+\infty}}

sur

{]-r,r[}

.
La série entière égale à

{f}

sur

{]-r,r[}

est alors nécessairement la série de Taylor de

{f}

.
Autrement dit, on a nécessairement :

{\forall\, x \in ]-r,r[,\;f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\,\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\,\,x^n}

On retiendra « l’unicité (si existence) du développement en série entière » d’une fonction ${f}$ définie au voisinage de ${0}$ : si ${f}$ est développable en série entière, ça ne peut être que sous la forme de sa série de Taylor.

R. Série entière et développement limité

Le développement en série entière d’une fonction

{f}

sur un intervalle

{]-r,r[}

s’apparente à une sorte de « développement limité d’ordre infini » en

{0}

(les coefficients sont les mêmes), mais il y a une différence notable.
Un développement limité en

{0}

n’a qu’un caractère local (il n’exprime qu’une approximation de

{f}

quand

{x}

tend vers

{0}

), alors que le développement en série entière possède un caractère global (il donne une représentation exacte de

{f}

sur tout l’intervalle

{]-r,r[}

R. Un exemple important

Attention : même si

{f}

est

{\mathcal{C}^{+\infty}}

au voisinage de

{0}

, et même si la série de Taylor de

{f}

a un rayon strictement positif, il est possible que

{f}

ne soit pas développable en série entière (c’est-à-dire que la somme de cette série de Taylor ne soit pas égale à

{f}

).
Le contre-exemple classique est

{f :x\mapsto\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)}

(prolongée par

{f(0)=0}

On montre que ${f}$ est de classe ${\mathcal{C}^{\infty}}$ sur ${\mathbb{R}}$ et que : ${\forall\, n\in\mathbb{N},\;f^{(n)}(0)=0}$ .
Il est alors clair que ${f}$ n’est pas développable en série entière (car la somme de sa série de Taylor est identiquement nulle sur ${\mathbb{R}}$ ).

P. Opérations sur fonctions développables

Soit

{f}

{g}

deux fonctions développables en série entière sur

{]-r,r[}

. Les résultats suivants sont des conséquences immédiates des propositions sur les opérations entre séries entières.

Pour tous scalaires ${\alpha,\beta}$ , ${\alpha f+\beta g}$ et ${fg}$ sont développables en série entière sur ${]\!-\!r,r[}$ .
les dérivées successives de ${f}$ sont développables en série entière sur ${]\!-\!r,r[}$ , et leur développement s’obtient par dérivations successives, terme à terme, de celui de ${f}$ .
les primitives de ${f}$ sont développables en série entière sur ${]\!-\!r,r[}$ , et leur développement s’obtient par intégration terme à terme de celui de ${f}$ (attention à la constante d’intégration).

R. Méthode de l'équation différentielle

On se propose ici de décrire une méthode permettant parfois de former le développement en série entière d’une fonction

{f}

définie sur un intervalle ouvert

{I}

contenant

{0}

Voici les principales étapes de cette méthode :

On détermine une équation différentielle linéaire ${(E)}$ vérifiée par ${f}$ sur l’intervalle ${I}$ .
L’équation ${(E)}$ s’écrit en général :
${a(x)y'(x)+b(x)y(x)=d(x)}$ , ou ${a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x)}$ .
Dans cette écriture, ${a,b,c,d}$ sont des fonctions très simples (souvent polynomiales, et en tout cas développables en série entière avec un développement connu).
On suppose pour l’instant (à moins qu’on ne le sache déjà, notamment si ${f}$ est obtenue par produits ou sommes de fonctions connues développables en série entière) que ${f}$ est développable en série entière.
On écrit ${f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}$ , et on en déduit ${f',f''}$ par dérivation terme à terme.
On « injecte » ces développements dans ${(E)}$ , et on réorganise le résultat pour faire apparaître une égalité sur ${]\!-\!r,r\,[}$ entre les sommes de deux séries entières.
On utilise l’unicité des coefficients d’une série entière de somme donnée pour identifier les coefficients de même degré.
On aboutit alors à des relations de récurrence sur les coefficients ${a_{n}}$ .
Ces relations, et les conditions initiales ( ${f(0)=a_{0}}$ et éventuellement ${f'(0)=a_{1}}$ ) permettent en principe de calculer l’expression des coefficients ${a_{n}}$ .
À ce stade, on détermine le rayon de convergence ${R}$ de la série entière ${\sum\limits a_{n}x^{n}}$ .
Ainsi ${x\mapsto f(x)}$ et ${x\mapsto S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}$ vérifient ${(E)}$ sur un intervalle de centre ${0}$ .
L’unicité de la solution au « problème de Cauchy » (solution de ${(E)}$ avec conditions initiales données) permet alors de conclure à ${f(x)=S(x)}$ sur un intervalle ${]\!-\!r,r\,[}$ .

E. Exercices conseillés

Séries entières usuelles

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