⇧ ℹ️① Rayon/disque de CV. Opns sur séries entières.
② Continuité/primitivation/dérivation de la somme.
③ Développements en séries entières. DSE usuels. 1 ② 3
② Continuité/primitivation/dérivation de la somme.
③ Développements en séries entières. DSE usuels. 1 ② 3
Continuité de la somme
P. Convergence normale sur tout segment
Soit {\sum\limits a_n x^n} une série entière de la variable réelle {x}, de rayon de convergence {R>0}.
Alors cette série converge normalement sur tout segment de l’intervalle ouvert {]-R,R\,[}.
Alors cette série converge normalement sur tout segment de l’intervalle ouvert {]-R,R\,[}.
R. Contre-exemple à connaître
Il se peut qu’une série entière {\sum\limits a_n x^n} ne soit pas uniformément convergente (et a fortiori pas normalement convergente) sur son intervalle ouvert de convergence.
C’est le cas pour {\sum\limits x^n}, de rayon {R=1}, et de somme {S(x)=\dfrac{1}{1-x}} sur {]-1,1[}.
Pour tout {N}, le reste d’ordre {N} est {R_{N}(x)=\!\!\sum\limits_{k=N+1}^{+\infty}\!\!x^k=\dfrac{x^{N+1}}{1-x}}, et {\displaystyle\sup_{[-1,1[}\left|R_{N}(x)\right|=+\infty}.
C’est le cas pour {\sum\limits x^n}, de rayon {R=1}, et de somme {S(x)=\dfrac{1}{1-x}} sur {]-1,1[}.
Pour tout {N}, le reste d’ordre {N} est {R_{N}(x)=\!\!\sum\limits_{k=N+1}^{+\infty}\!\!x^k=\dfrac{x^{N+1}}{1-x}}, et {\displaystyle\sup_{[-1,1[}\left|R_{N}(x)\right|=+\infty}.
P. Continuité de la somme
Soit {\sum\limits a_n x^n} une série entière de la variable réelle {x}, de rayon de convergence {R>0}.
Alors la somme {x\mapsto S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n} est continue sur l’intervalle ouvert {]-R,R\,[}.
Alors la somme {x\mapsto S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n} est continue sur l’intervalle ouvert {]-R,R\,[}.
R. En cas de CVA au bord
- Si {\sum\limits\left|a_{n}\right|R^{n}} converge, alors {\sum\limits a_n x^n} est normalement convergente sur {[-R,R]}.
Dans ce cas, la somme {x\mapsto S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n} est continue sur le segment {[-R,R\,]}. -
On montre également le résultat suivant (qui est hors-programme) : si {\sum\limits a_n R^n} converge, alors {\sum\limits a_n x^n} converge uniformément sur {[0,R]}.
En particulier, la somme {S(x)} est continue en {R}.
Ainsi {\displaystyle\lim_{x\to R}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n R^n}. - On a un résultat analogue à l’extrémité {-R} de l’intervalle de convergence.
-
Il peut y avoir convergence en l’une et l’une seulement des extrémités {\pm R}.
Penser par exemple à {\sum\limits\dfrac{x^{n}}{n}} : le rayon vaut {1}, il a convergence en {-1} et divergence en {1}. -
On verra que {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x)} pour {|x|\lt1}.
Mais la série converge en {x=-1} donc : {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}=\displaystyle\lim_{x\to-1}(-\ln(1-x))=-\ln(2)}
R. Continuité (variable complexe)
Soit {\sum\limits a_n z^n} une série entière de rayon {R>0}.
Alors la somme {z\mapsto S(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n z^n} est continue sur le disque ouvert de convergence.
Attention : {S} est ici une fonction de la variable complexe {z}, définie pour {\left|z\right|\lt R}.
La continuité en {z_{0}} du disque ouvert de convergence signifie : {\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}z_{0}^{n}}.
Alors la somme {z\mapsto S(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n z^n} est continue sur le disque ouvert de convergence.
Attention : {S} est ici une fonction de la variable complexe {z}, définie pour {\left|z\right|\lt R}.
La continuité en {z_{0}} du disque ouvert de convergence signifie : {\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}z_{0}^{n}}.
E. Exercices conseillés