Séries entières (1/3)

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Rayon de convergence

P. Le lemme d'Abel
Soit {(a_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels ou complexes.
Soit {z_{0}} un nombre complexe non nul. On suppose que la suite {{(a_nz_{0}^{n})}_{n\ge0}} est bornée.
Alors la série numérique {\sum\limits a_{n}z^{n}} est absolument convergente pour tout {z} tel que {\left|z\right|\lt \left|z_{0}\right|}.
D. Rayon de convergence
Soit {(a_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels ou complexes.
L’ensemble {I} des {\rho} de {\mathbb{R}^{+}} tels que {{(a_n\rho^n)}_{n\ge0}} est bornée est un intervalle contenant {0}.
Sa borne supérieure {R} dans {\overline{\mathbb{R}}} est appelée rayon de convergence de la série entière {\sum\limits a_n\,z^n}.
D. Trois définitions équivalentes
Les propositions suivantes définissent toutes le rayon de convergence {R} de {\sum\limits a_{n} z^{n}} :

  1. {R} est la borne supérieure dans {\overline{\mathbb{R}}} de l’intervalle {I_{a}=\{\rho\ge0, \text{la suite }(a_n\rho^n)_{n\ge0}\text{ est bornée}\}}
  2. {R} est la borne supérieure dans {\overline{\mathbb{R}}} de l’intervalle {I_{b}=\{\rho\ge0, \text{la suite }(a_n\rho^n)_{n\ge0}\text{ tend vers }0\}}
  3. {R} est la borne supérieure dans {\overline{\mathbb{R}}} de l’intervalle {I_{c}=\{\rho\ge0,\;\sum\limits a_{n} \rho^{n}\text{ converge absolument}\}}

R. Premiers exemples

  • Le rayon de convergence de {\sum\limits n!\,z^n} est {R=0}.
  • Le rayon de convergence de {\sum\limits z^n} est {R=1}.
  • Le rayon de convergence de {\sum\limits\dfrac{z^n}{n!}} est {R=+\infty}.

Disque de convergence

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Calculs de rayons de convergence

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Somme/produit de séries entières

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