Endomorphismes de polynômes

Exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Réduction des endomorphismes », dans la catégorie « Endomorphismes de polynômes »

Réduction d’un endomorphisme intégral

(Oral Ensam)
Pour tout

{P\in \mathbb{R}_{n}[X]}

, on définit :

{U(P)(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!e^{-t}P(t)\,\text{d}t}

Montrer que

{U}

est un endomorphisme de

{\mathbb{R}_{n}[X]}

.
Est-il diagonalisable? Préciser son inverse.

On étudie ici les éléments propres de deux endomorphismes de

{\mathbb{R}[X]}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

Pour tout polynôme

P

, on note

\varphi(P)

le polynôme

X(X-1)P'-nXP

.
Montrer que

{\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}

, et en donner les éléments propres.

(Oral Ccp)
Montrer que

{\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)}

est diagonalisable dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de

{\mathbb{R}_n[X]}

défini par

{f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}

(Oral X-Cachan Psi)
Soient

{A,B}

dans

{\mathbb{C}[X]}

, avec

{A\ne0}

, avec

{\deg(B)= n+ 1}

. En fonction des racines de

A

, ou

B

, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme

{\varphi}

{\mathbb{C}_{n}[X]}

qui à

P

associe le reste dans la division de

{AP}

par

{B}