Variables aléatoires indépendantes de même loi

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Probabilités » et dans la catégorie « Variables aléatoires indépendantes de même loi ».

Somme de lois de Rademacher

(Mines-Ponts)
Soient

{X_{1},\ldots,X_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi :

{P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}

Soit

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

.
Montrer que

{P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}

➡️

Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}

, où les

{a_{i,j}}

sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer :

{E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}

.
On suppose que les

{a_{i,j}}

suivent toutes la même loi. Soit

{x\in \mathbb{R}}

. Calculer

{E(\chi_{A}(x))}

➡️

Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{n})_{n\geq 1}}

des v.a.r. indépendantes telles que :

{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}

Montrer que

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

prend presque sûrement une infinité de fois la valeur

{k}

➡️

Probabilité d’être un projecteur

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{1},\ldots,X_{n})}

des v.a.r. indépendantes, de loi

{\mathcal{B}(p)}

.
Donner la loi du rang et de la trace de

{M=(X_{i}X_{j})_{1\leq i,j\leq n}}

.
Quelle est la probabilité que

{M}

représente un projecteur ?

➡️

Un événement négligeable

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{n})_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi

{\mathcal{B}(p)}

.
Soit

{A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}

.
Soit

{I}

l’événement « une infinité de

{A_{n}}

sont réalisés ».
Montrer que

{\mathbb{P}(I)=0}

➡️

Convergence en probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on étudie la notion de convergence en probabilité pour une suite de variables aléatories réelles.

➡️

Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes

{(X_{n})_{n\geq 1}}

.
On suppose que

{X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)}

et que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}}

converge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}

➡️

Loi d’une somme de v.a.r

(Oral Mines-Ponts 2018)
On demande la loi de la somme de

{n}

v.a.r. indépendantes de même loi.

➡️

Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit

{(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}}

des v.a.r. indépendantes de même loi :

{\mathbb{P}(X_{i}=1)=p}

;

{\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}

.
Soit

Y_k

le temps d’attente de

X_1+\cdots+X_n\ge k

.
On étudie la loi de

Y_k

et son espérance.

➡️

Matrices à diagonale propre

(Oral Centrale)
On dit que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

vérifie

{(\mathcal{P})}

si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété

{(\mathcal{P})}

soit vérifiée.

➡️