Indépendance d’événements

Exercices sur le thème « Indépendance d’événements »

Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.

Majoration d’une probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(A_{k})_{1\leq k\leq n}} des événements mutuellement indépendants. Soit {B} l’événement :
« aucun des événements {A_k} n’est réalisé ».
Montrer que {\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}.

Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?

Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p}, on note p_n la probabilité d’obtenir à la date n, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre {p_{n+3}}, {p_{n+2}}, {p_{n+1}} et {p_{n}}.

Tir au laser sur une bactérie

(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.