Indépendance d’événements

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Probabilités » et dans la catégorie « Indépendance d’événements ».

Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}

, où les

{a_{i,j}}

sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer :

{E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}

.
On suppose que les

{a_{i,j}}

suivent toutes la même loi. Soit

{x\in \mathbb{R}}

. Calculer

{E(\chi_{A}(x))}

.

Stabilité de la loi binomiale

(Oral Centrale)
Soient

{Y,Z}

indépendantes à valeurs dans

{\mathbb{N}}

, et non constantes.
On suppose

{U=Y+Z\leadsto\mathcal{B}(n,p)}

.
Montrer que

{Y,Z}

suivent des lois binomiales.

Lemmes de Borel-Cantelli

On démontre ici les deux lemmes de Borel-Cantelli.

Indépendance d’événements

On s’intéresse à l’indépendance d’événements liés au lancement de plusieurs dés.

Majoration d’une probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(A_{k})_{1\leq k\leq n}}

des événements mutuellement indépendants. Soit

{B}

l’événement :
« aucun des événements

{A_k}

n’est réalisé ».
Montrer que

{\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}

.

Tirage de boules impaires

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2n}

boules numérotées de

{1}

à

{2n}

.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.

Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)
Pour

{k\in [[1,p]]}

, l’urne numéro

{k}

contient

{k}

boules noires et

{p-k}

boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire

{2n}

boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu

{n}

boules noires? Quelle est sa limite quand

p\to+\infty

?

Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre

{p}

, on note

p_n

la probabilité d’obtenir à la date

n

, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre

{p_{n+3}}

,

{p_{n+2}}

,

{p_{n+1}}

et

{p_{n}}

.

Tir au laser sur une bactérie

(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité

{p\in\,]0,1[}

.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par

{r + 1}

tirs de laser, avec

{r\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{X}

la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis

{\text{E}(X)}

.