Couples de variables aléatoires

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr dans la catégorie « Couples de variables aléatoires ».

Probabilités et diagonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. à valeurs dans

{[[1,n+1]]}

, avec :

{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}

Loi de

{X}

{X,Y}

sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice

{M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})}

de coefficients

{m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}

➡️

Fonctions de variables de même loi

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{X_{1},X_{2}}

deux v.a.r à valeurs dans

{\mathbb{R}^{+*}}

, indépendantes et de même loi.
Soit

{Y_{1}=\dfrac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}

{Y_{2}=\dfrac{X_{2}}{X_{1}+X_{2}}}

Montrer que

{Y_{1}}

a une espérance et une variance.
Calculer

{E\left(Y_{1}\right)}

et montrer que

{\text{cov}\left(Y_{1},Y_{2}\right) =-V\left(Y_{1}\right)}

➡️

Probabilités et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

deux v.a.r. suivant la loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Déterminer la probabilité que les solutions de :

{(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0}

tendent vers

{0}

{+\infty}

➡️

Racine de l’unité aléatoire

(Oral X-Ens)
On choisit au hasard une racine

{n}

-ème de l’unité

{Z}

.
Soient

{X=\text{Re}(Z)}

{Y=\text{Im}(Z)}

.
Calculer

{\mathrm{Cov}(X,Y)}

{X}

{Y}

sont elles indépendantes ?

➡️

Couple de variables aléatoires

On se donne les lois de deux v.a.r.

{X}

{Y}

. On étudie le couple

{(U,V)}

où

{U=\sup(X,Y)}

{V=\inf(X,Y)}

➡️

Deux suites de tirages monocolores

(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion

{p\in\,]0,1[}

de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note

{X_1,X_2}

les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de

{X_1}

, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple

{(X_1,X_2)}

.
En déduire la loi de

{X_2}

, son espérance, sa variance.

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Différence de lois binomiales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes suivant

{\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}

.
Donner la loi, l’espérance et la variance de

{Z\!=\!X\!-\!Y}

.
Calculer

{\text{Cov}(X,Z)}

et leur coefficient de corrélation.

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Distance entre deux lois géométriques

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes de loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Loi et espérance de

{Z=|X-Y|}

➡️

Indépendance de X⁺ et X^–

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X}

une variable telle que

{X(\Omega )=\mathbb{Z}}

.
On pose

{X^{+}=\max (X,0)}

{X^{-}=\min (X,0)}

{X^+,X^-}

sont-elles indépendantes ?

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Somme de lois de Poisson

(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes

{\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}

Donner la loi de

{Z = X + Y}

.
Donner celle de

{X}

sachant

{(Z = n)}

➡️