Probabilités avec Python

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Probabilités » et dans la catégorie « Probabilités avec Python ».

Un jeton et quatre cases

(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date

{n}

quand

{n\to+\infty}

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Vidages d’urnes bicolores

(Oral Centrale)
Une urne contient

{b}

boules blanches et

{n-b}

rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note

{C}

le nombre de changements de couleur. Calculer

{E(C)}

{V(C)}

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Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit

{(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}}

des v.a.r. indépendantes de même loi :

{\mathbb{P}(X_{i}=1)=p}

;

{\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}

.
Soit

Y_k

le temps d’attente de

X_1+\cdots+X_n\ge k

.
On étudie la loi de

Y_k

et son espérance.

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Jetons bicolores

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2^nd est d’une couleur différente du 1^er, on le retourne. On étudie le nombre

{X_{k}}

de faces bleues après

{k}

étapes, et la loi-limite de

X_k

quand

k\to+\infty

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Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des

N

figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note

{X}

le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de

X

, son espérance, sa variance.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 5

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, l’épisode 3, et l’épisode 4.
On s’intéresse ici à l’espérance du temps de retour de l’urne dans sa composition initiale. On illustre ensuite les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 4

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, et l’épisode 3. Dans cet épisode, on étudie les puissances successives de la matrice de transition, et on illustre les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 3

Pour les notations, revoir l’épisode 1 et l’épisode 2.
Dans cet épisode, on diagonalise la matrice de transition de la chaîne de Markov. On en déduit que la seule distribution invariante est binomiale. On illustre avec Python les variations éventuelles des lois

X_n

, quand on part de la loi initiale de

X_0

(qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme

\varphi

{\mathbb{R}_{N}[X]}

dans la base canonique.
Si

{t\mapsto G_{n}(t)}

est la fonction génératrice de

{X_{n}}

, on voit que

{G_{n+1}=\varphi(G_{n})}

.
On retrouve alors la relation

{\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}

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