Matrices orthogonales

Exercices corrigés

Matrices telles que A^T = A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

une matrice de

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{\top}=A^{2}}

Étudier la diagonalisation de

{M=A^{\top}A}

.
Montrer que

{A}

est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.

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Spectre des matrices orthogonales

Soit

{A}

dans

{O_{n}(\mathbb{R})}

et soit

{\lambda}

une valeur propre complexe de

{A}

.
Montrer que

{|\lambda|=1}

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Matrice ortho-trigonalisable

(Oral Centrale 2018)
Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{\chi_{M}}

scindé dans

{\mathbb{R}[X]}

. Montrer qu’il existe

{R\in O(n)}

telle que

{R^{T} MR}

soit triangulaire supérieure.

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Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, soit

{v_{1}\ldots,v_{n+1}}

avec

{(v_{i}\mid v_{j})=-1}

{i\neq j}

.
Soit

{w_{1},\ldots,w_{n+1}}

tels que

{(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})}

pour tous

{i,j}

. Montrer qu’il existe un unique

{u\in O(\mathbb{R^n})}

tel que

{u(v_{i})=w_{i}}

pour tout

{i}

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Une condition d’antisymétrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est antisymétrique si et seulement si :

{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP}

est à diagonale nulle.

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Orthogonale ⇆ antisymétrique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Montrer que

{M=(I_{n}+A)^{-1}(I_{n}-A)}

est orthogonale positive.
Montrer que

{A=(I_{n}+M)^{-1}(I_{n}-M)}

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Matrices de Householder

(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR

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Orthogonalité de M → AM

Soit

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

muni du produit scalaire

{\left({A}\!\mid\!{B}\right)\!=\!\text{tr}({A}^{\!\top}B)}

Pour quelles matrices

{M}

l’application

{A\mapsto AM}

est-elle une isométrie?

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Matrice orthogonale et inégalités

Soit

{A=(a_{ij})}

une matrice orthogonale d’ordre

{n}

.
Prouver que:

{\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;}

{\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}

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Orthogonales et triangulaires à la fois

Montrer que dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, les seules matrices à la fois orthogonales et triangulaires sont les matrices diagonales à coefficients diagonaux égaux à

{\pm 1}

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Deux isométries de l’espace

(Oral Ccp)
Identifier

{\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}}

{\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}

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Identifier une transformation de ℝ³

(Oral Ccp)
Transformation associée à

{M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}

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Trace et matrices orthogonales

(Oral Ccp)
Si

{\Omega\in O(n)}

{S\in S_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}

, alors

{\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}

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Matrices de trace nulle (bis!)

(Oral Centrale)
Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{n\ge1}

, telle que

{\text{tr}(M)=0}

.
Montrer qu’il existe

{P\in O(n)}

telle que

{P^{\top}MP}

soit de diagonale nulle.

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