Décomposition polaire par minimisation
(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle {A} s’écrit {A=RS}, avec {R} orthogonale positive et {S} symétrique.
Matrices orthogonales
Matrices extrémales à coeffs dans [-1,1]
(Oral Centrale) Parmi les matrices carrées {A} de taille n telles que {|a_{i,j}|\le1}, on s’intéresse aux matrices dites extrémales, c’est-à-dire qui maximisent {|\det(A)|}. On voit comment former de telles matrices pour certaines valeurs de {n}.
Matrices telles que A^T = A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {A^{\top}=A^{2}}
Étudier la diagonalisation de {M=A^{\top}A}.
Montrer que {A} est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {A^{\top}=A^{2}}
Étudier la diagonalisation de {M=A^{\top}A}.
Montrer que {A} est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.
Spectre des matrices orthogonales
Soit {A} dans {O_{n}(\mathbb{R})} et soit {\lambda} une valeur propre complexe de {A}.
Montrer que {|\lambda|=1}.
Montrer que {|\lambda|=1}.
Matrice ortho-trigonalisable
(Oral Centrale 2018)
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {\chi_{M}} scindé dans {\mathbb{R}[X]}. Montrer qu’il existe {R\in O(n)} telle que {R^{T} MR} soit triangulaire supérieure.
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {\chi_{M}} scindé dans {\mathbb{R}[X]}. Montrer qu’il existe {R\in O(n)} telle que {R^{T} MR} soit triangulaire supérieure.
Vecteurs obtusangles
(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.
Une condition d’antisymétrie
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est antisymétrique si et seulement si :
{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP} est à diagonale nulle.
Montrer que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est antisymétrique si et seulement si :
{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP} est à diagonale nulle.
Orthogonale ⇆ antisymétrique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Montrer que {M=(I_{n}+A)^{-1}(I_{n}-A)} est orthogonale positive.
Montrer que {A=(I_{n}+M)^{-1}(I_{n}-M)}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Montrer que {M=(I_{n}+A)^{-1}(I_{n}-A)} est orthogonale positive.
Montrer que {A=(I_{n}+M)^{-1}(I_{n}-M)}.
Matrices de Householder
(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR
Matrices de Householder pour a décomposition QR
Orthogonalité de M → AM
Soit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire {\left({A}\!\mid\!{B}\right)\!=\!\text{tr}({A}^{\!\top}B)}
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Matrice orthogonale et inégalités
Soit {A=(a_{ij})} une matrice orthogonale d’ordre {n}.
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Orthogonales et triangulaires à la fois
Montrer que dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, les seules matrices à la fois orthogonales et triangulaires sont les matrices diagonales à coefficients diagonaux égaux à {\pm 1}.
Deux isométries de l’espace
(Oral Ccp)
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Identifier une transformation de ℝ³
(Oral Ccp)
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Trace et matrices orthogonales
(Oral Ccp)
Si {\Omega\in O(n)} et {S\in S_{n}(\mathbb{R})}, avec {\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}, alors {\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}.
Si {\Omega\in O(n)} et {S\in S_{n}(\mathbb{R})}, avec {\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}, alors {\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}.
Matrices de trace nulle (bis!)
(Oral Centrale)
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.