Isométries vectorielles

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr issus du chapitre « Espaces euclidiens », dans la catégorie « Isométries vectorielles ».

Conditions pour une isométrie

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{E}

euclidien.
Montrer que deux propriétés entraînent la troisième :

{(i)}

{u}

est une isométrie

{(ii)}

{u^{2}=-\text{Id}}

{(iii)}

{\forall\,x\in E,\;(u(x)\mid x) =0}

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Isométries de l’espace

Cinq exercices sur le thème « isométries de l’espace ».

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Moyenne des itérées d’une isométrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, soit

{a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}

.
Montrer que

{\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}

.
Étudier la suite

{N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}

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Matrices de Householder

(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR

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Morphismes pour le produit vectoriel

On se place dans

{\mathbb{R}^3}

euclidien orienté.
Trouver les endomorphismes

{f}

tels que :

{\forall\; u,v\in \mathbb{R}^3,\;f(u\wedge v)=f(u)\wedge f(v)}

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Rotations vectorielles du plan

Trois exercices sur le thème « rotations vectorielles du plan ».

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Orthogonalité de M → AM

Soit

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

muni du produit scalaire

{\left({A}\!\mid\!{B}\right)\!=\!\text{tr}({A}^{\!\top}B)}

Pour quelles matrices

{M}

l’application

{A\mapsto AM}

est-elle une isométrie?

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Deux isométries de l’espace

(Oral Ccp)
Identifier

{\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}}

{\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}

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Identifier une transformation de ℝ³

(Oral Ccp)
Transformation associée à

{M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}

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Réflexions conjuguées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{H_{1}, H_{2}}

deux hyperplans de

{E}

euclidien. On note

{s_{i}}

la réflexion par rapport à

{H_{i}}

.
Montrer que

{s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}

, où

{s_{3}}

est la réflexion par rapport à

{H_{3}=s_2(H_1)}

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Une symétrie orthogonale

(Oral Centrale)
Soit

{F\subset\mathbb{R}^{4}}

d’équations

{\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}

Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à

{F}

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Conservation du volume

Dans

{E}

euclidien de dimension

{n}

, soit

{d\in\{1,\ldots,n\}}

.
Si

{x\in E^d}

est liée, on pose

{m(x) =0}

.
Sinon, soit

{\mathcal{B}}

une base orthonormale de

{\text{Vect}(x)}

.
On pose alors

{m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}

.
Soit

{X_{d}}

l’ensemble des endomorphismes de

E

tels que :

{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}

L’objectif de l’exercice est de prouver que

{X_{d}=O(E)}

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