Spectre de matrices symétriques
(Oral Centrale) On étudie la fonction qui au réel {t} associe la valeur propre maximum de {u+tv,}, où {u} et {v} sont deux endomorphismes symétriques de {E} euclidien.
Endomorphismes symétriques
det(u+v) ≥ det(u) + det(v)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace euclidien, et {u,v} deux endomorphismes symétriques de {E} tels que :
{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}Montrer que {\det (u+v)\geq \det u+\det v}.
Étudier le cas d’égalité.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace euclidien, et {u,v} deux endomorphismes symétriques de {E} tels que :
{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}Montrer que {\det (u+v)\geq \det u+\det v}.
Étudier le cas d’égalité.
Tr(uv), avec u,v symétriques positifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u,v} deux endomorphismes symétriques de {E} euclidien. On suppose que {u,v} sont à spectre positif. Montrer que {\text{tr}(uv)\geq 0}.
Soit {u,v} deux endomorphismes symétriques de {E} euclidien. On suppose que {u,v} sont à spectre positif. Montrer que {\text{tr}(uv)\geq 0}.
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
(Exercice d’oral Centrale Mp)
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].
Matrice de projection orthogonale
Matrice de la projection orthogonale de {\mathbb{R}^{4}} sur {F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}
Un endomorphisme symétrique
(Oral Ccp)
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
Minimum de (f(x)|x)
(Oral Ccp)
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
On munit {\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Un endomorphisme symétrique
(Oral Tpe)
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Trace et endomorphismes symétriques
(Oral CCInp)
Si f,g sont symétriques positifs, alors {0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}.
Si f,g sont symétriques positifs, alors {0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}.
Valeurs propres extrémales
Somme de projecteurs orthogonaux
(Oral Centrale)
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p + q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p + q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.