Équations différentielles Exercices corrigés

Équations différentielles

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Équations différentielles linéaires ».

Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Pour

{f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}

, soit

{\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}

.
On demande les éléments propres de

{\Phi}

➡️

Équa. diff. linéaire d’ordre 1

(Oral Ensam)
Résoudre l’équation différentielle

{(E):\ x(1 - x^{2})y'+(2x^{2} - 1)y = x}

➡️

Équa. diff. linéaire d’ordre 2

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur

{]-1,1[}

, l’équation différentielle :

{4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}

➡️

Mouvement circulaire (bis)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}}

une solution de

{(S):\;X'=AX}

, avec

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
1. Montrer que

{\left\|{X(t)}\right\|}

est constant
2. Si

{a\in\text{Ker}(A)}

, montrer que

{\left({X(t)}\mid{a}\right)}

est constant
3. En déduire que le mouvement de

{X(t)}

est circulaire

➡️

Mouvement circulaire

(Oral Ccp)
Soit

{(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}}

{\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}

Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement

{(S)}

➡️

Équation différentielle d’ordre 3

(Oral Ccp)
Soit

{(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}

.
On pose

{X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}

.
1. Montrer que

{(E)}

s’écrit

{X'=AX}

.
2. Trigonaliser

{A}

, puis résoudre

{(E)}

➡️

Pas de sev stable de dim ≥ 1

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}

{\Phi\in\mathcal{L}(E)}

défini par

{\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\Phi}

ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie

{n\ge1}

E

➡️

Un système différentiel

(Oral X-Cachan Psi)
Soit le système différentiel

{(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}

On note

{X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

de colonnes

{X_{k}(t)}

.
1. Montrer que

{X(t)}

est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par

{\det(X)}

.
3. Déterminer

{\det(X(t))}

en fonction de

{\text{tr}(A)}

➡️