Trace d'une matrice Exercices corrigés

Trace d’une matrice

Exercices sur le thème « Trace d’une matrice ».

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

tel que

{u^{m}=\text{Id}}

{p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}

.
Montrer que

{p^2=p}

{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}

. À quelle condition a-t-on:

{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de

{u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))}

défini par

{u(M)=M^{T}}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

(oral Centrale)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Montrer :

{\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}

(Oral Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

.
Calculer la trace de

\Phi\colon M\mapsto AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, avec

{n\ge1}

. On suppose

{\text{tr}(M)=0}

. Montrer que

{M}

est semblable à une matrice de coefficients diagonaux tous nuls.