Une trigonalisation 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\cr 0&0&1&-1\cr 0&0&-1&1\cr -1&1&0&0\end{pmatrix}}. Calculer A^3. Peut-on dia(tri)gonaliser A?
Mp/Pc/Psi
Une trigonalisation 5×5
Montrer que {A=}{\begin{pmatrix}1&0&-1&1&0\cr0&-2&0&0&0\cr1&0&1&0&1\cr1&0&0&1&1\cr0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}} est semblable à {J=}{\begin{pmatrix}-2&0&0&0&0\cr0&1&1&0&0\cr0&0&1&0&0\cr0&0&0&1&1\cr0&0&0&0&1\end{pmatrix}}
Une trigonalisation effective
Trigonaliser {A=\begin{pmatrix}-4&0&-2\cr0&1&0\cr5&1&3 \end{pmatrix}} et calculer {A^n}, pour tout {n\in\mathbb{Z}}.
Diagonalisation simultanée
Soient {f} et {g} deux endomorphismes diagonalisables de {E}, avec {\dim(E)=n\ge1}.
On suppose que {fg=gf}. Montrer que {f} et {g} sont diagonalisables dans une même base {(e)} de {E}.
On suppose que {fg=gf}. Montrer que {f} et {g} sont diagonalisables dans une même base {(e)} de {E}.
Produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{K})} et {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
Réduction de matrices à paramètres
Diagonaliser les matrices {M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a\end{pmatrix}}, pour {(a,b,c)\in\mathbb{K}^3}.
Commutant d’un endo scindé simple
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} (où {\dim(E)=n\ge1}) ayant {n} valeurs propres distinctes.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Réduction endomorphisme de Kn[X]
Pour tout polynôme P, on note \varphi(P) le polynôme X(X-1)P'-nXP.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Condition de non diagonalisabilité
Dire pour quel(s) {a} la matrice {A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 1&a&-1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}} n’est pas diagonalisable.
Diagonalisabilité sans calcul
Dire, sans calculs, pourquoi la matrice {A=}{\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}} est diagonalisable.
Polynôme caractéristique de M-1
Soit {M} une matrice de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, inversible.
Exprimer le polynôme caractéristique de {M^{-1}} en fonction de celui de {M}.
Exprimer le polynôme caractéristique de {M^{-1}} en fonction de celui de {M}.
Polynômes caractéristiques de AB et BA
Soient {A} et {B} deux matrices de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Valeurs propres de uv et de vu
Soit {u} et {v} deux endomorphismes d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Projecteurs de somme IdE
Soit {E} un {\mathbb{K}}-ev de dimension finie, et {p_1,\ldots,p_n} des projecteurs tels que {\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Déterminant par blocs
Soit {M,N,P,Q} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, avec PQ=QP.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Pas de polynôme annulateur non nul
Montrer le seul polynôme annulateur de u,v,w (éléments de \mathcal{L}(\mathbb{K}[X]) est 0 :
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
Petit lemme des noyaux
Soit {f\in\mathcal{L}(E)} et {\alpha\ne\beta} dans {\mathbb{K}}. Montrer que:
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
Grassmann pour trois sous-espaces?
Soit {F,G,H} trois sous-espaces d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} de dimension finie.
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour \dim(F+G+H)?
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour \dim(F+G+H)?
Transformations en somme directe
Soit {F_1,\ldots,F_p} des sous-espaces de {E} tels que {E=F_1+\cdots+F_p}. Montrer qu’il existe des sous-espaces {G_2,\ldots,G_p} de {E} tels que {G_j\subset F_j} et {E=F_1\oplus G_2\oplus\cdots\oplus G_p}.
Endomorphismes tels que f3 = Id
Dans un espace vectoriel E sur {\mathbb{K}}, on caractérise les endomorphismes f tels que {f^3=\text{Id}} par des sommes directes.