Probabilités (5/6)

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On considère des variables aléatoires discrètes {X,Y,\ldots} sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})}. Si {\text{X}(\Omega)} est infini dénombrable, on écrira {\text{X}(\Omega)=\{x_{n},\;n\in \mathbb{N}\}}, avec des {x_{n}} distincts deux à deux. On rappelle que «v.a.r.» est une abréviation de «variable aléatoire réelle discrète».

Espérance d’une v.a.r.

D. Espérance d'une v.a.r
Posons {\text{X}(\Omega)=\{x_{n},\;n\in \mathbb{N}\}}, où les {x_{n}} sont distincts deux à deux.
On dit que {\text{X}} est « d’espérance finie » si la série {\sum\limits \mathbb{P}(\text{X}=x_{n})\,x_{n}} est absolument convergente.
Si tel est le cas, la somme {\;\text{E}(\text{X})=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(\text{X}=x_{n})\,x_{n}\;} est appelée espérance de {\text{X}}.
R. Remarques

  • Par absolue convergence, {\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(\text{X}=x_{n})\,x_{n}} ne dépend pas de l’ordre d’énumération.
    On peut donc noter {\text{E}(\text{X})=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{P}(\text{X}=x_{n})x_{n}}.
  • Le problème de l’existence de l’espérance ne se pose évidemment pas si {\text{X}(\Omega)} est fini.
  • Pour regrouper les cas suivant que {\text{X}(\Omega)} est fini ou dénombrable, n pose {\text{X}(\Omega)=\{x_{n},\;n\in J\subset\mathbb{N}\}}, où les {x_{n}} sont distincts deux à deux.
    On notera alors {\text{E}(\text{X})=\sum\limits_{n\in J}x_{n}\,\mathbb{P}(\text{X}=x_{n})}, ou encore {\text{E}(\text{X})=\sum\limits_{x\in\text{X}(\Omega)}x\,\mathbb{P}(\text{X}=x)}.
  • Si {\text{X}} est constante en {a} ou presque sûrement constante ({\mathbb{P}(\text{X}=a)=1}) alors {\text{E}(\text{X})=a}.
  • Si {\text{X}} est la variable indicatrice d’un événement {A}, alors {\text{E}(\text{X})=\mathbb{P}(A)}.
  • On dit qu’une variable aléatoire est centrée si son espérance est nulle (snif). Si {\text{X}} est d’espérance finie, alors {\text{X}-\text{E}(\text{X})} est une variable centrée.

P. Expression de E(X) quand X(Ω)⊂ℕ
Soit {\text{X}} une variable aléatoire à valeurs dans {\mathbb{N}}.
Dire que {E} est d’espérance finie équivaut à dire que la série {\sum\limits\mathbb{P}(\text{X}\ge n)} est convergente.
Dans ce cas, on a l’expression : {\text{E}(\text{X})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(\text{X}\ge n)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(\text{X}\gt n)}
P. Le théorème du transfert
Posons {\text{X}(\Omega)=\{x_{n},\;n\in \mathbb{N}\}}, où les {x_{n}} sont distincts deux à deux.
Soit {f:X(\Omega)\to\mathbb{R}}. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • la variable {f(\text{X})} est d’espérance finie;
  • la série {\sum\limits \mathbb{P}(\text{X}=x_{n})\,f(x_{n})} est absolument convergente.

On a alors : {\text{E}(f(\text{X}))=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\,\mathbb{P}(\text{X}=x_{n})\,f(x_{n})}
Pour calculer {\text{E}(f(\text{X}))}, il suffit donc de connaître et d’utiliser la loi de {\text{X}}.

P. Linéarité de l'espérance
On suppose que {\text{X}} et {\text{Y}} sont d’espérance finie.
Alors il en est de même de {\lambda \text{X}+\mu} et {\lambda \text{X}+\mu \text{Y}} pour tous réels {\lambda} et {\mu}.
Plus précisément : {\begin{cases}\text{E}(\lambda \text{X}+\mu)=\lambda\text{E}(\text{X})+\mu\\[3pt]\text{E}(\lambda \text{X}+\mu \text{Y})= \lambda \text{E}(\text{X})+\mu\text{E}(\text{Y})\end{cases}}

Plus généralement encore, si {\text{X}_{1},\ldots,\text{X}_{n}} sont d’espérance finie : {E\Bigl(\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}\text{X}_{i}\Bigr)=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}\,\text{E}(\text{X}_{i})}L’ensemble des v.a.r. d’espérance finie sur {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} est un {\mathbb{R}}-espace vectoriel, et l’espérance est une forme linéaire sur cet espace.

P. Positivité et croissance
On suppose que {\text{X}} et {\text{Y}} sont d’espérance finie.

  • Si {\text{X}} est à valeurs dans {\mathbb{R}^+}, alors {\text{E}(\text{X})\ge0}.
  • Si {\text{X}(\omega)\le \text{Y}(\omega)} pour tout {\omega}, alors {\text{E}(\text{X})\le \text{E}(\text{Y})}.

R. Remarques et propriétés

  • Si {X\ge0} alors on ne peut avoir {\text{E}(\text{X})=0} que si {\mathbb{P}(\text{X}=0)=1} ({\text{X}} est « presque nulle »).
  • Si une variable aléatoire réelle {\text{X}} est bornée, alors elle admet une espérance.
  • Si {\text{X}} et {\text{Y}} sont d’espérance finie, il en est de même de {\min(\text{X},\text{Y})} et de {\max(\text{X},\text{Y})}.
  • Dire que {\text{X}} est d’espérance finie, c’est dire que {\left|\text{X}\right|} est d’espérance finie. Cela équivaut aussi à dire que {\text{X}^{+}=\max(\text{X},0)} et {\text{X}^{-}=\max(-\text{X},0)} sont d’espérance finie.
  • Si {\left|\text{Y}(\omega)\right|\le \text{X}(\omega)} pour tout {\omega}, et si {\text{X}} est d’espérance finie, alors {\left|\text{E}(\text{Y})\right|\le \text{E}(\text{X})}.
    En particulier : {\left|\text{E}(\text{X})\right|\le \text{E}(\left|\text{X}\right|)}.

P. E(XY) avec X,Y indépendantes
Soit {\text{X},\text{Y}} deux variables indépendantes d’espérance finie.
Alors {\text{X}\text{Y}} est d’espérance finie et {\text{E}(\text{X}\text{Y})=\text{E}(\text{X})\,\text{E}(\text{Y})}.
E. Exercices conseillés

Variance d’une v.a.r.

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Variance et indépendance

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