Probabilités (2/6)

Soit {\mathscr{A}} une tribu sur un univers {\Omega}. On appelle probabilité sur {(\Omega,\mathscr{A})} toute application {\mathbb{P}} définie sur {\mathscr{A}}, à valeurs dans {[0, 1]} telle que :

1. {\mathbb{P}(\Omega)=1} (probabilité de l’événement certain)
2. Propriété de {\sigma}-additivité :
   pour toute suite {(A_n)} d’événements deux à deux incompatibles, {\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(A_n)}

Le triplet {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} est appelé un espace probabilisé.

Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.

• L’événement impossible : {\mathbb{P}(\emptyset)=0}
• La {\sigma}-additivité vaut bien sûr pour des unions finies d’événements deux à deux incompatibles
• Événements contraires : {\mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)}
• Si {A,B} sont deux événements et si {A\subset B}, alors {\mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)} (croissance de la probabilité)
• Si {A,B} sont deux événements, alors :{\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)}

• Si l’univers {\Omega} est fini ou dénombrable, on choisit en principe la tribu {\mathscr{A}=\mathcal{P}(\Omega)}.
  La fonction de probabilité {\mathbb{P}} est alors déterminée par la donnée des probabilités des événements élémentaires.
• Il existe des univers non dénombrables. Par exemple, l’univers associé à une suite indéfinie d’épreuves de Bernoulli est {\Omega=\{0,1\}^{\mathbb{N}}}.
• Pour créer un espace probabilisé sur un tel univers, il faut par exemple préciser les événements « intéressants », leur attribuer une probabilité, et admettre l’existence d’une plus petite tribu {\mathscr{A}} contenant les réunions finies ou dénombrables de ces événements.

Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.
On dit qu’un événement {A} est négligeable si sa probabilité est nulle.
On dit qu’il est presque sûr si sa probabilité vaut {1}.

• L’événement impossible {\emptyset} est évidemment négligeable, de même que l’événement certain {\Omega} est presque sûr. Réciproquement, il peut exister des événements qui sont négligeables sans être impossibles (obtenir toujours Pile quand on lance indéfiniment une pièce honnête!) ou presque sûrs sans être certains.
• Tout événement qui contient un événement presque sûr est lui-même presque sûr. Tout événement inclus dans un événement négligeable est négligeable.
• Si {A} est presque sûr, et si {B} est un événement quelconque, alors {\mathbb{P}(B\cap A)=\mathbb{P}(B)}.

Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.
Soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite croissante d’événements, donc telle que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\; A_{n}\subset A_{n+1}}.
Alors on a l’égalité : {{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(A_n)}=\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)}.

Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.
Soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite décroissante d’événements, donc telle que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\; A_{n+1}\subset A_{n}}.
Alors on a l’égalité : {{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(A_n)}=\mathbb{P}\Bigl(\,\bigcap\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)}.

Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé, et soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite d’événements.
Alors on a l’inégalité : {\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)\le \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(A_n)}.
L’inégalité précédente ne signifie pas que la série {\sum\limits \mathbb{P}(A_{n})} converge! Si cette série diverge, ou si sa somme est supérieure à {1}, le résultat est sans intérêt.

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