Probabilités (1/6)

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Ensembles dénombrables

D. Ensembles dénombrables
Un ensemble {E} est dit dénombrable s’il existe une bijection de {\mathbb{N}} sur {E}.
P. Parties de E dénombrable
Toute partie d’un ensemble dénombrable est soit finie, soit dénombrable.
P. Ensembles finis ou dénombrables
Soit {E} un ensemble. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  • l’ensemble {E} est fini ou dénombrable
  • il existe une application surjective de {\mathbb{N}} sur {E}

Dire que {E} est fini ou dénombrable, c’est donc pouvoir écrire {E=\{x_{n},\; n\in\mathbb{N}\}}, ou encore {E=\{x_{n},\; n\in J\}}{J\subset\mathbb{N}} et où les {x_{n}} sont distincts.

P. Exemples ou contre-exemples

  • L’ensemble {\mathbb{Z}} des entiers relatifs est dénombrable.
  • L’ensemble {\mathbb{N}\times\mathbb{N}} est dénombrable. Plus généralement, si {E} et {F} sont dénombrables, leur produit cartésien {E\times F} est dénombrable.
  • L’ensemble {E=\{0,1\}^{\mathbb{N}}} de toutes les suites à valeurs dans {\{0,1\}} n’est pas dénombrable.
  • L’ensemble {\mathbb{R}} n’est pas dénombrable.

R. Unions/Intersections dénombrables
Soit {J} une partie (finie ou infinie) de {\mathbb{N}}.
Soit {(A_{n})_{n\in J}} une suite de parties d’un ensemble {E}.
On pose : {\;\bigcup\limits_{n\in J}A_{n}=\{x\in E,\;\exists\, n\in J,\;x\in A_{n}\}\;}
De même : {\;\bigcap\limits_{n\in J}A_{n}=\{x\in E,\;\forall\, n\in J,\;x\in A_{n}\}}
Avec ces notations, on a alors les propriétés suivantes :

  • Passage au complémentaire : {\;\overline{\bigcup\limits_{n\in J}A_{n}}=\bigcap\limits_{n\in J}\overline{A_{n}}\;\;\text{et}\;\;\overline{\bigcap\limits_{n\in J}A_{n}}=\bigcup\limits_{n\in J}\overline{A_{n}}\;}
  • Distributivité : pour toute partie {B} de {E}, on a
    {\begin{array}{c}B\cap\Bigl(\bigcup\limits_{n\in J}A_{n}\Bigr)=\bigcup\limits_{n\in J}\bigl(B\cap A_{n}\bigr)\\[12pt]B\cup\Bigl(\bigcap\limits_{n\in J}A_{n}\Bigr)=\bigcap\limits_{n\in J}\bigl(B\cup A_{n}\bigr)\end{array}}
  • Union croissante, et intersection décroissante :
    On pose {C_{n}=\!\!\!\bigcup\limits_{0\le k\le n}\!\!\!A_{k}} et {D_{n}=\!\!\!\bigcap\limits_{0\le k\le n}\!\!\!A_{k}}. Alors : {\bigcup\limits_{n\in J}A_{n}=\bigcup\limits_{n\in J}C_{n}\;\;\text{et}\;\;\bigcap\limits_{n\in J}A_{n}=\bigcap\limits_{n\in J}D_{n}}

D. Fonctions à valeurs discrètes
On dit qu’une fonction {X :\Omega\to E} est à valeurs discrètes (ou simplement « est discrète ») si son ensemble image {X(\Omega)} est fini ou dénombrable

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