Probabilités (3/6)

Soit {\mathcal{A}} une tribu de parties de {\Omega}. Soit {\text{X}} une application de {\Omega} dans un ensemble {E}.
On dit que {\text{X}} est une variable aléatoire discrète si :

1. L’ensemble {\text{X}(\Omega)} est fini ou dénombrable;
2. Pour tout {x\in E}, l’ensemble {\text{X}^{-1}(\{x\})=\{\omega\in\Omega,\;\text{X}(\omega)=x\}}est un événement. Il est noté {(\text{X}=x)}.

On abrège «variable aléatoire discrète» en v.a. ou v.a.d.

• Si {\Omega} est fini ou dénombrable, la première hypothèse «{\text{X}(\Omega)} est fini ou dénombrable» est sans objet, car automatiquement vérifiée. De même si {\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)}, la deuxième hypothèse est sans objet.
  Retenons que si {\Omega} est fini ou dénombrable, alors toute application {\text{X} :\Omega\to E} est une variable aléatoire sur {(\Omega,\mathcal{P}(\Omega))}.
• La définition d’une v.a.d. ne nécessite pas qu’il existe une probabilité. Mais si c’est le cas, on s’intéressera aux probabilités {\mathbb{P}(\text{X}=x)} (à suivre…).
• On considérera le plus souvent des v.a.r (à valeurs dans {\mathbb{R}}).
• Toute application constante sur {\Omega} est une variable aléatoire discrète.
• Il existe des variables aléatoires {\text{X}} dont l’image {\text{X}(\Omega)} est infinie non dénombrable (par exemple un intervalle de {\mathbb{R}}) mais c’est hors-programme. Dans tout ce qui suit, l’expression « variable aléatoire » signifie donc « variable aléatoire discrète ».

Soit {\mathcal{A}} une tribu de parties d’un ensemble {\Omega}. Soit {A} un événement. On appelle indicatrice de l’événement {A} la variable aléatoire réelle définie par {(\forall\, \omega\in A,\; \text{X}(\omega)=1)\;\text{et}\;(\forall\, \omega\notin A,\; \text{X}(\omega)=0)}Elle est souvent notée {\chi_{A}}.

Soit {\text{X} :\Omega\to E} une v.a.d. et soit {U} une partie de {E}.
Alors l’ensemble {\text{X}^{-1}(U)=\{\omega\in\Omega,\;\text{X}(\omega)\in U\}} est un événement.
Cet événement est noté {(\text{X} \in U)}, ou encore {\{\text{X} \in U\}}. Si {\text{X}} est à valeurs réelles, on considère souvent les événements {(\text{X}\le a)}, {(a\le \text{X}\le b)}, {(\text{X}>a)}, etc.