⇧ ℹ️① Ensembles dénombrables. Tribu, événements.
② Probabilité. Conditionnement. Indépendance.
③ Variables aléatoires discrètes. Loi. Fn de répartition.
④ Couple de var. Loi conjointe, loi marginale.
⑤ Espérance. Variance. Covariance, corrélation.
⑥ Fn génératrice. G(p), P(λ). Loi des grands nombres. 1 2 3 ④ 5 6
② Probabilité. Conditionnement. Indépendance.
③ Variables aléatoires discrètes. Loi. Fn de répartition.
④ Couple de var. Loi conjointe, loi marginale.
⑤ Espérance. Variance. Covariance, corrélation.
⑥ Fn génératrice. G(p), P(λ). Loi des grands nombres. 1 2 3 ④ 5 6
Couple de variables aléatoires
D. Couple de variables aléatoires discrètes
Soit {\mathscr{A}} une tribu sur un ensemble {\Omega}.
Soit {\text{X} :\Omega\to E} et {\text{Y} :\Omega\to F} deux variables aléatoires discrètes.
En posant : {\forall\, \omega\in\Omega,\;\text{Z}(\omega)=(\text{X}(\omega),\text{Y}(\omega))}, on définit une v.a.d. {\text{Z} :\Omega\to E\times F}.
On dit que {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} est un couple de variables aléatoires.
Remarque : {\text{Z}(\Omega)} est une partie (souvent stricte) de {\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}.
Pour tout {(x,y)} de {\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}, l’événement {(\text{Z}=(x,y))} sera noté {(\text{X}=x,\text{Y}=y)}.
Soit {\text{X} :\Omega\to E} et {\text{Y} :\Omega\to F} deux variables aléatoires discrètes.
En posant : {\forall\, \omega\in\Omega,\;\text{Z}(\omega)=(\text{X}(\omega),\text{Y}(\omega))}, on définit une v.a.d. {\text{Z} :\Omega\to E\times F}.
On dit que {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} est un couple de variables aléatoires.
Remarque : {\text{Z}(\Omega)} est une partie (souvent stricte) de {\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}.
Pour tout {(x,y)} de {\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}, l’événement {(\text{Z}=(x,y))} sera noté {(\text{X}=x,\text{Y}=y)}.
P. Projections d'un couple aléatoire
La proposition précédente admet une réciproque
Soit {\mathscr{A}} une tribu sur un ensemble {\Omega}.
Soit {\text{Z} :\Omega\to E\times F} une variable aléatoire discrète.
Soit {\begin{cases}\text{X} :\Omega\to E\\\text{Y} :\Omega\to F\end{cases}} les composantes de {\text{Z}}, définies par : {\forall\, \omega\in\Omega,\;\text{Z}(\omega)=(\text{X}(\omega),\text{Y}(\omega))}.
Alors les applications {\text{X}} et {\text{Y}} sont des variables aléatoires discrètes.
Soit {\mathscr{A}} une tribu sur un ensemble {\Omega}.
Soit {\text{Z} :\Omega\to E\times F} une variable aléatoire discrète.
Soit {\begin{cases}\text{X} :\Omega\to E\\\text{Y} :\Omega\to F\end{cases}} les composantes de {\text{Z}}, définies par : {\forall\, \omega\in\Omega,\;\text{Z}(\omega)=(\text{X}(\omega),\text{Y}(\omega))}.
Alors les applications {\text{X}} et {\text{Y}} sont des variables aléatoires discrètes.
P. Combinaisons linéaires de v.a.r.
Soit {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} un couple de variables aléatoires réelles sur {(\Omega,\mathscr{A})}.
Pour tous scalaires {\lambda,\mu}, l’application {\lambda \text{X}+\mu \text{Y}} est une variable aléatoire réelle.
Il suffit en effet d’appliquer à {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} la fonction {\varphi} définie sur {\mathbb{R}^{2}} par {\varphi(x,y)=\lambda x+\mu y}.
L’ensemble des variables aléatoires réelles sur {(\Omega,\mathscr{A})} est donc un {\mathbb{R}}-espace vectoriel.
Remarque : pour des raisons similaires, {\text{X}\text{Y}} est une variable aléatoire réelle sur {(\Omega,\mathscr{A})}.
Pour tous scalaires {\lambda,\mu}, l’application {\lambda \text{X}+\mu \text{Y}} est une variable aléatoire réelle.
Il suffit en effet d’appliquer à {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} la fonction {\varphi} définie sur {\mathbb{R}^{2}} par {\varphi(x,y)=\lambda x+\mu y}.
L’ensemble des variables aléatoires réelles sur {(\Omega,\mathscr{A})} est donc un {\mathbb{R}}-espace vectoriel.
Remarque : pour des raisons similaires, {\text{X}\text{Y}} est une variable aléatoire réelle sur {(\Omega,\mathscr{A})}.
D. Vecteurs aléatoires
On peut généraliser ce qui précède à {Z:\Omega\to F_{1}\times\cdots\times F_{n}}.
Si on note {\text{Z}=(\text{X}_{1},\ldots,\text{X}_{n})}, dire que {\text{Z}} est une variable aléatoire discrète sur {(\Omega,\mathscr{A})} équivaut à dire que chaque {\text{X}_{i} :\Omega\to F_{i}} est elle-même une variable aléatoire discrète.
On dit alors que {\text{Z}} est un vecteur de variables aléatoires.
On peut aussi définir une variable aléatoire fonction {\varphi(\text{X}_{1},\text{X}_{2},\ldots,\text{X}_{n})} des {\text{X}_{i}}.
Si on note {\text{Z}=(\text{X}_{1},\ldots,\text{X}_{n})}, dire que {\text{Z}} est une variable aléatoire discrète sur {(\Omega,\mathscr{A})} équivaut à dire que chaque {\text{X}_{i} :\Omega\to F_{i}} est elle-même une variable aléatoire discrète.
On dit alors que {\text{Z}} est un vecteur de variables aléatoires.
On peut aussi définir une variable aléatoire fonction {\varphi(\text{X}_{1},\text{X}_{2},\ldots,\text{X}_{n})} des {\text{X}_{i}}.