Logique et ensembles (2/6)

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Les deux quantificateurs {\exists} et {\forall}

D. Les deux quantificateurs
Soit {\mathcal{P}} une propriété portant sur les éléments d’un ensemble {E}.

  • La proposition « {\exists\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » dit qu’au moins un un élément de {E} vérifie {\mathcal{P}}.
    On lira : « il existe {x} dans {E} tel que {\mathcal{P}(x)} » (c’est-à-dire tel que {x} vérifie {\mathcal{P}}).
    On dit que « {\exists} » est le quantificateur existentiel.
  • La proposition « {\forall\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » exprime que tout élément de {E} vérifie {\mathcal{P}}.
    On lira : « quel que soit {x} appartenant à {E}, on a {\mathcal{P}(x)} ».
    On dit que « {\forall\,} » est le quantificateur universel.
  • La proposition « {\exists\,!\,x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » exprime qu’un et un seul élément de {E} vérifie {\mathcal{P}}.

P. Négation et quantificateurs
La négation de la proposition « {\exists\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est « {\forall\, x\in E,\,\text{non}\,\mathcal{P}(x)} »
La négation de la proposition « {\forall\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est « {\exists\, x\in E,\,\text{non}\,\mathcal{P}(x)}.

En revanche la négation de « {\exists\,!\,x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est plus compliquée et s’exprimerait de la manière suivante : « il n’existe aucun élément de {E} vérifiant la propriété {\mathcal{P}} ou alors il en existe au moins deux ».

R. Plusieurs quantificateurs
On peut former des propositions « à tiroirs » avec plusieurs quantificateurs, notamment sur des énoncés {\mathcal{P}(x,y,\cdots)} à plusieurs variables.

  • Par exemple, les deux propositions suivantes {\;\begin{cases}\mathcal{A}:\ \forall\, x\in E,\,\exists\, y\in F,\,\mathcal{P}(x,y)\cr \mathcal{B}:\ \exists\, y\in F,\,\forall\, x\in E,\,\mathcal{P}(x,y)\end{cases}}ont des significations très différentes.
    En effet, {\mathcal{A}} exprime que pour tout {x} de {E}, il existe un {y} de {F} (dépendant a priori de ce {x}) tel que la proposition {\mathcal{P}(x,y)} soit vraie. Quant à {\mathcal{B}}, elle exprime qu’il existe un certain {y} de {F} tel que, pour tout {x} de {E}, la proposition {\mathcal{P}(x,y)} soit vraie.
  • De même la proposition : {\forall\,x\in E,\;\exists\,y\in F,\;\forall z\in G,\;\mathcal{P}(x,y,z)}gagne à être vue, mentalement, sous la forme :
    {\forall\,x\in E,\biggl(\;\exists\,y\in F,\;\Bigl(\forall z\in G,\;\mathcal{P}(x,y,z)\bigr)\Bigr)}Cette perception s’avère utile pour écrire la négation d’une proposition.
  • Par exemple, supposons que {\mathcal{A}} s’écrive : {\forall\, x\in E,\,\exists\, y\in F,\,\mathcal{P}(x,y)}Alors {\text{non}\;\mathcal{A}} s’écrit : {\exists\, x\in E,\,\forall\, y\in F,\,\text{non}\;\mathcal{P}(x,y)}
  • De même, supposons que {\mathcal{B}} s’écrive {\exists\, x\in E,\,\forall\, y\in F,\,\mathcal{P}(x,y)}Alors {\text{non}\;\mathcal{B}} s’écrit : {\forall\, x\in E,\,\exists\, y\in F,\,\text{non}\;\mathcal{P}(x,y)}

E. Exercices conseillés

Le raisonnement par récurrence

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Résolutions d'(in)équations

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