Logique et ensembles (6/6)

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Les relations binaires

D. Relation binaire
Soit {E} et {F} deux ensembles.
On appelle relation {\mathcal{R}} de {E} vers {F} la donnée d’une partie {R} du produit cartésien {E\times F}.
La partie {R} est appelée le graphe de la relation {\mathcal{R}}.
On dit qu’un élément {x} de {E} est en relation avec un élément {y} de {F}, pour la relation {\mathcal{R}}, si le couple {(x,y)} appartient au graphe {R}. On exprime cette situation en écrivant {x\mathcal{R} y}.
Si {E=F} on dit que {\mathcal{R}} est une relation sur {E}.
R. Exemples de relations

  • La relation d’inclusion dans l’ensemble des parties de {E}: {A\mathcal{R} B\Leftrightarrow A\subset B}.
  • La relation de divisibilité sur les entiers relatifs: {m\mathcal{R} n\Leftrightarrow m\text{\ divise\ }n}.
  • Dans {\mathbb{Z}}, et si {a} non nul, on définit la relation de congruence modulo {a} : {m\mathcal{R} n\Leftrightarrow m-n\text{\ est divisible par\ }a}.
    On note le plus souvent {m\equiv n\;(a)}.
  • Sur tout ensemble {E}, on peut définir la relation égalité : {x\mathcal{R} y\Leftrightarrow x =y}.
    Le graphe de cette relation est la diagonale {\Delta(E)=\{(x, x), x\in E\}}.
  • Soit {E} et {F} deux ensembles quelconques.
    On définit la relation universelle de {E} vers {F} par : {\forall\, (x,y) \in E\times F, x\mathcal{R} y}.
    Le graphe de cette relation est l’ensemble {E\times F} tout entier.

Propriétés des relations

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Relations d’ordre

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Relations d’équivalence

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Congruences dans {\mathbb{R}}

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Congruences dans {\mathbb{Z}}

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