Logique et ensembles (4/6)

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Applications entre ensembles

D. Application de E vers F

Soient

{E}

{F}

deux ensembles non vides.
Une application

{f}

{E}

vers

{F}

est le moyen d’associer, à chaque élément

{x}

{E}

, un unique élément

{y}

{F}

. On note alors

{y=f(x)}

. On exprime l’égalité

{y=f(x)}

en disant que

{y}

est l’image de

{x}

par

{f}

, ou que

{x}

est un antécédent de

{y}

par

{f}

.
On dit que

{E}

est l’ensemble de départ et que

{F}

l’ensemble d’arrivée de

{f}

D. Ensemble des applications de E vers F

Soit

{E}

{F}

deux ensembles. On note

{\mathcal{F}(E,F)}

, ou encore

{F^{E}}

l’ensemble de toutes les applications de

{E}

vers

{F}

. Si les deux ensembles

{E}

{F}

sont égaux, on note plus simplement

{\mathcal{F}(E)}

(ou

{E^{E}}

R. Notations et remarques

Une application ${f}$ de ${E}$ vers ${F}$ est souvent notée ${E\overset{f}{\longrightarrow}F}$ , ou ${f:\underset{x\mapsto y=f(x)}{E\longrightarrow F}}$
Tout élément de ${E}$ possède une image et une seule dans ${F}$ (c’est la définition même d’une application) mais un élément donné de ${F}$ peut très bien ne posséder aucun antécédent, ou un seul, ou plusieurs, ou même une infinité!
Deux applications ${f}$ et ${g}$ sont égales si elles ont le même ensemble de départ ${E}$ , le même ensemble d’arrivée ${F}$ , et si ${f(x)=g(x)}$ pour tous ${x}$ de ${E}$ .

D. L'application Identité

Soit

{E}

un ensemble. On définit l’application identité de

{E}

dans

{E}

, notée

{\text{Id}_E}

, par:

{\forall\, x \in E, \text{Id}_E(x) = x}

D. Applications constantes

Une application

{f}

{E}

dans

{F}

est dite constante s’il existe un élément

{\alpha}

{F}

, tel que, pour tout

{x}

{E}

{f(x)}

soit égal à

{\alpha}

Famille d’éléments, de parties

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Fonction indicatrice d’une partie

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Image directe d’une partie

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Image réciproque d’une partie

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Exercices conseillés

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