Logique et ensembles (4/6)

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Applications entre ensembles

D. Application de E vers F
Soient {E} et {F} deux ensembles non vides.
Une application {f} de {E} vers {F} est le moyen d’associer, à chaque élément {x} de {E}, un unique élément {y} de {F}. On note alors {y=f(x)}. On exprime l’égalité {y=f(x)} en disant que {y} est l’image de {x} par {f}, ou que {x} est un antécédent de {y} par {f}.
On dit que {E} est l’ensemble de départ et que {F} l’ensemble d’arrivée de {f}.
D. Ensemble des applications de E vers F
Soit {E} et {F} deux ensembles. On note {\mathcal{F}(E,F)}, ou encore {F^{E}} l’ensemble de toutes les applications de {E} vers {F}. Si les deux ensembles {E} et {F} sont égaux, on note plus simplement {\mathcal{F}(E)} (ou {E^{E}}).
R. Notations et remarques

  • Une application {f} de {E} vers {F} est souvent notée {E\overset{f}{\longrightarrow}F}, ou {f:\underset{x\mapsto y=f(x)}{E\longrightarrow F}}
  • Tout élément de {E} possède une image et une seule dans {F} (c’est la définition même d’une application) mais un élément donné de {F} peut très bien ne posséder aucun antécédent, ou un seul, ou plusieurs, ou même une infinité!
  • Deux applications {f} et {g} sont égales si elles ont le même ensemble de départ {E}, le même ensemble d’arrivée {F}, et si {f(x)=g(x)} pour tous {x} de {E}.

D. L'application Identité
Soit {E} un ensemble. On définit l’application identité de {E} dans {E}, notée {\text{Id}_E}, par: {\forall\, x \in E, \text{Id}_E(x) = x}.
D. Applications constantes
Une application {f} de {E} dans {F} est dite constante s’il existe un élément {\alpha} de {F}, tel que, pour tout {x} de {E}, {f(x)} soit égal à {\alpha}.

Famille d’éléments, de parties

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Fonction indicatrice d’une partie

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Image directe d’une partie

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Exercices conseillés

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