Généralités sur les applications

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {f} une application de {{\mathcal P}(E)} dans {\mathbb{R}}.

On suppose que, pour toutes parties {A} et {B} de {E} : {A\cap B=\emptyset\Rightarrow f(A\cup B)=f(A)+f(B)}

Prouver que, pour toutes parties A,B de E :{f(A\cup B)=f(A)+f(B)-f(A\cap B)}

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Exercice 2.
Soit {f} une application de {E} dans {F}.

Montrer que {A\subset E\Rightarrow f(f^{-1}(B)\cap A)=B\cap f(A)}.

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Exercice 3.
Soit {E} un ensemble non vide. Trouver toutes les applications {f} de {E} telles que, pour toute application {g} de {E}, on ait {g\circ f=f\circ g}.
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Exercice 4.
Soit {f\colon E\rightarrow E} une application, et {{\mathcal S}=\{X\subset E,\;f^{-1}(f(X))=X\}}.

  1. Soit {A} une partie de {E}. Montrer que {f^{-1}(f(A))\in {\mathcal S}}.
  2. Montrer que {{\mathcal S}} est stable par intersection ou réunion quelconque.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.