Généralités sur les applications

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {f} une application de {{\mathcal P}(E)} dans {\mathbb{R}}.

On suppose que, pour toutes parties {A} et {B} de {E} : {A\cap B=\emptyset\Rightarrow f(A\cup B)=f(A)+f(B)}

Prouver que, pour toutes parties A,B de E :{f(A\cup B)=f(A)+f(B)-f(A\cap B)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2.
Soit {f} une application de {E} dans {F}.

Montrer que {A\subset E\Rightarrow f(f^{-1}(B)\cap A)=B\cap f(A)}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3.
Soit {E} un ensemble non vide. Trouver toutes les applications {f} de {E} telles que, pour toute application {g} de {E}, on ait {g\circ f=f\circ g}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 4.
Soit {f\colon E\rightarrow E} une application, et {{\mathcal S}=\{X\subset E,\;f^{-1}(f(X))=X\}}.

  1. Soit {A} une partie de {E}. Montrer que {f^{-1}(f(A))\in {\mathcal S}}.
  2. Montrer que {{\mathcal S}} est stable par intersection ou réunion quelconque.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.