Logique et ensembles (1/6)

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Propositions, démonstrations, etc.

D. Propositions mathématiques
Une proposition est un énoncé dont on doit pouvoir dire qu’il est « vrai » ou « faux ».
On notera {V} et {F} (ou encore {1} et {0}) les deux valeurs logiques possibles d’une proposition.
D. Axiomes
Certaines propositions sont déclarées vraies à priori: ce sont les axiomes.
Sinon la véracité (ou la fausseté) d’une proposition doit résulter d’une démonstration (d’une preuve).
D. Théorèmes, Lemmes, etc.
Un théorème est une proposition vraie particulièrement importante.
Un lemme est une proposition vraie, utile à la démonstration d’une proposition plus importante.
Un corollaire est une proposition vraie, conséquence immédiate d’une autre proposition vraie.
Une conjecture est une proposition qu’on pense généralement vraie, sans en avoir de preuve.

Ensembles, éléments

D. Ensembles, éléments
On dit qu’un ensemble {E} est constitué d’éléments et qu’un élément {a} appartient à {E} (on écrit: {a\in E}) ou n’appartient pas à {E} (on écrit: {a\notin E}).
Deux ensembles {E,F} sont dits égaux (on note {E=F}) s’ils sont constitués des mêmes éléments.
D. Ensemble vide, singletons, paires
Par convention l’ensemble vide, noté {\emptyset}, est l’ensemble ne contenant aucun élément.
Un ensemble {\{a\}}, formé d’un seul élément, est appelé un singleton.
Un ensemble {\{a,b\}}, formé de deux éléments distincts, est appelé une paire.

Opérations sur les propositions

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Figures usuelles du raisonnement

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