Logique et ensembles (5/6)

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Composition d’applications

D. Définition de gof
Soit {E}, {F}, {G} trois ensembles. Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal F}(F,G)}. La composée de {f} par {g}, notée {g\circ f} , est l’application de {E} vers {G}, définie par: {\forall\, x\in E, g\circ f(x)=g(f(x))}.
P. Associativité de la composition
Soit {E,F,G,H} quatre ensembles. Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)}, {g} dans {{\mathcal F}(F,G)} et {h} dans {{\mathcal F}(G,H)}.
Alors on a l’égalité {h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f}.
On exprime cette propriété en disant que la loi de composition des applications est associative.
Il découle qu’une composition répétée, comme {f_n\circ f_{n-1}\circ\cdots\circ f_2\circ f_1}, ne nécessite pas de parenthèses.
R. Remarques

  • Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)}. Alors {\text{Id}_F\circ f=f} et {f\circ \text{Id}_E=f}.

  • Si {f} appartient à {\mathcal{F}(E)}, on pose {f^0=\text{Id}_E} et : {\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;f^n=f^{n-1}\circ f=f\circ f\circ\cdots\circ f\circ f}({n} fois)
  • Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal F}(F,E)}.
    On peut donc former à la fois {g\circ f} (de {E} dans {E}) et {f\circ g} (de {F} dans {F}).
    Ces deux applications sont en général distinctes (notamment si {E\ne F} !).
  • Si {f} et {g} appartiennent à {\mathcal{F}(E)}, on dit que {f} et {g} commutent si {g\circ f=f\circ g}.
    On note que {\text{Id}_E} commute avec toute application de {E} dans {E}.
    De même, les « puissances » {f^n} de {f} commutent entre elles ({f^n\circ f^p=f^p\circ f^n=f^{n+p}})

Injections, surjections

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Bijections

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