Logique et ensembles (5/6)

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Composition d’applications

D. Définition de gof

Soit

{E}

{F}

{G}

trois ensembles. Soit

{f}

dans

{\mathcal{F}(E,F)}

{g}

dans

{{\mathcal F}(F,G)}

. La composée de

{f}

par

{g}

, notée

{g\circ f}

, est l’application de

{E}

vers

{G}

, définie par:

{\forall\, x\in E, g\circ f(x)=g(f(x))}

P. Associativité de la composition

Soit

{E,F,G,H}

quatre ensembles. Soit

{f}

dans

{\mathcal{F}(E,F)}

{g}

dans

{{\mathcal F}(F,G)}

{h}

dans

{{\mathcal F}(G,H)}

.
Alors on a l’égalité

{h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f}

.
On exprime cette propriété en disant que la loi de composition des applications est associative.
Il découle qu’une composition répétée, comme

{f_n\circ f_{n-1}\circ\cdots\circ f_2\circ f_1}

, ne nécessite pas de parenthèses.

R. Remarques

Soit ${f}$ dans ${\mathcal{F}(E,F)}$ . Alors ${\text{Id}_F\circ f=f}$ et ${f\circ \text{Id}_E=f}$ .
Si ${f}$ appartient à ${\mathcal{F}(E)}$ , on pose ${f^0=\text{Id}_E}$ et : ${\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;f^n=f^{n-1}\circ f=f\circ f\circ\cdots\circ f\circ f}$ ( ${n}$ fois)
Soit ${f}$ dans ${\mathcal{F}(E,F)}$ et ${g}$ dans ${{\mathcal F}(F,E)}$ .
On peut donc former à la fois ${g\circ f}$ (de ${E}$ dans ${E}$ ) et ${f\circ g}$ (de ${F}$ dans ${F}$ ).
Ces deux applications sont en général distinctes (notamment si ${E\ne F}$ !).
Si ${f}$ et ${g}$ appartiennent à ${\mathcal{F}(E)}$ , on dit que ${f}$ et ${g}$ commutent si ${g\circ f=f\circ g}$ .
On note que ${\text{Id}_E}$ commute avec toute application de ${E}$ dans ${E}$ .
De même, les « puissances » ${f^n}$ de ${f}$ commutent entre elles ( ${f^n\circ f^p=f^p\circ f^n=f^{n+p}}$ )

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