Logique, quantificateurs

Exercice 1.
Décrire les parties de {\mathbb{R}} définies par les propositions (vraies) suivantes :

  1. {(x > 0\;\text{et}\;x \lt 1)\;\text{ou}\;x = 0}
  2. {x > 3\;\text{et}\;x \lt 5\;\text{et}\;x \ne 4}
  3. {(x \leqslant 0\;\text{et}\;x > 1)\;\text{ou}\;x = 4}
  4. {x \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 2}.

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Exercice 2.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction. Exprimer verbalement la signification des propositions suivantes:

  1. {\exists\, \lambda \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in I,\;f(x) = \lambda}
  2. {\forall\, x \in I,\;f(x) = 0 \Rightarrow x = 0}
  3. {\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in I,\;f(x) = y}
  4. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y)}
  5. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;f(x) = f(y) \Rightarrow x = y}

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Exercice 3.
Soit {f} une fonction définie sur {\mathbb{R}}, et à valeurs réelles.
Les phrases suivantes sont exprimées en langage mathématique avec des quantificateurs.
Identifier le sens de ces phrases, et exprimer ce sens en langage courant.

  1. {\forall\,x\in\mathbb{R},\;f(x)>0\Rightarrow x>0}
  2. {\forall\,M\in\mathbb{R},\;\exists\, a\in\mathbb{R},\;x\le a\Rightarrow f(x)\ge M}
  3. {\forall\,x\in\mathbb{R},\;\exists\,y\in\mathbb{R},\;y=f(x)}
  4. {\forall\,y\in\mathbb{R},\;\exists\,x\in\mathbb{R},\;y=f(x)}
  5. {\exists\,y\in\mathbb{R},\;\forall\,x\in\mathbb{R},\;y=f(x)}
  6. {\forall\,x\in\mathbb{R},\;\forall\,y\in\mathbb{R},\;f(x)=f(y)}
  7. {\forall\,x\in\mathbb{R},\;\exists\,\,y\in\mathbb{R},\;f(y)>f(x)}
  8. {\exists\,\,x\in\mathbb{R},\;\exists\,y\in\mathbb{R},\;f(y)>f(x)}
  9. {\exists\,\,x\in\mathbb{R},\;\forall\,\,y\in\mathbb{R},\;f(y)\ge f(x)}
  10. {\forall\,x\in\mathbb{R},\;\forall\,y\in\mathbb{R},\;f(x)\le f(y)}

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Exercice 4.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction. Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :

  1. la fonction {f} s’annule
  2. la fonction {f} est la fonction nulle
  3. {f} n’est pas une fonction constante
  4. {f} ne prend jamais deux fois la même valeur
  5. la fonction {f} présente un minimum
  6. {f} prend des valeurs arbitrairement grandes
  7. {f} ne peut s’annuler qu’une seule fois

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Exercice 5.
Soit {f} une fonction définie sur {\mathbb{R}}, et à valeurs réelles.
Traduire les phrases suivantes en un langage mathématique à base de quantificateurs :

  1. la fonction {f} est croissante
  2. la fonction {f} tend vers {0} en {+\infty}
  3. la fonction {f} atteint une valeur maximum
  4. la fonction {f} ne s’annule jamais
  5. la fonction {f} s’annule au plus deux fois
  6. la fonction {f} est périodique de période {\pi}
  7. la fonction {f} est périodique
  8. la fonction {f} s’annule au moins deux fois
  9. la fonction {f} est minorée
  10. la fonction {f} n’est pas majorée

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Exercice 6.
On note {\mathbb{P}} l’ensemble des nombres premiers (les entiers {n\ge2} dont les seuls diviseurs positifs que {1} et {n}). Exprimer les propositions suivantes à l’aide de quantificateurs.

  1. Si un entier premier divise le produit de deux entiers, alors il divise l’un d’entre eux
  2. Tout entier supérieur ou égal à {2} est divisible par un nombre premier
  3. L’entier {2} est le seul entier premier pair
  4. Tout entier premier au moins égal à {5} est congru à {1} ou à {-1} modulo {6}
  5. Tout entier pair {n>2} est la somme de deux nombres premiers (conjecture de Goldbach)
  6. Tout nombre premier de la forme {4n+1} est la somme de deux carrés
  7. Entre {n} et {2n}, (avec {n\ge2}) il existe toujours un nombre premier
  8. Il existe une infinité de nombre premiers
  9. Soit {p\ge2} un entier. Alors {p} est premier si et seulement si {p} divise {(p-1)!+1}
  10. Le plus petit entier {n} tel que {n^2+n+41} est non premier est {n=40}

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Exercice 7.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} non vide et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction. Exprimer les négations des propositions suivantes:

  1. {\forall\, x \in I,\;f(x) \ne 0}
  2. {\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in I,\;f(x) = y}
  3. {\exists\, M \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in I,\;\left| {f(x)} \right| \leqslant M}
  4. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y)}
  5. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;f(x) = f(y) \Rightarrow x = y}
  6. {\forall\, x \in I,\;f(x) > 0 \Rightarrow x \leqslant 0}

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Exercice 8.
Soit {f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Indiquer à chaque fois la différence de sens entre les deux propositions :

  1. {\big(\forall\, x \in \mathbb{R},\;\exists\, y \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)\;} et {\;\big(\exists\, y \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)}
  2. {\big(\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)\;} et {\;\big(\exists\, x \in \mathbb{R},\;\forall\, y \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)}
  3. {\big(\forall\, x \in \mathbb{R},\;\exists\, M \in \mathbb{R},\;f(x) \leqslant M\big)\;} et {\;\big(\exists\, M \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in \mathbb{R},\;f(x) \leqslant M\big)}

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