Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Sommes de séries de fonctions
Série de fonctions et intégrales
(Oral Centrale) On définit une suite de polynômes (de Hilbert), et la suite {a_n} de leurs intégrales sur {[0,1]}. Par des techniques d’intégration et de séries, on calcule un équivalent de {a_n}.
Série de fonctions et Fibonacci
(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions {\sum x^n/(1-x^n)}. On termine par une expression de la série des {1/F_{2n}}, où {F} est la suite de Fibonacci.
Une série de fonctions
Oral Centrale) On définit la fonction {\varphi(u)=u(1-u^2)/(1+u^2)}, et on étudie la série de fonctions {\sum\varphi(x^n)} (domaine, continuité, équivalent).
Développement d’Euler de cotan(π x)
((Oral Centrale Mp)
Développement d’Euler de cotan(π x) en série de fonctions.
Développement d’Euler de cotan(π x) en série de fonctions.
Série de fonctions, convergence, somme
Série de fonctions {\sum f_n} définie par : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=n\, x^2\text{e}^{-nx}}
Fonctions Zeta et Zeta alternée
(Oral Mines-Ponts)
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Équation fonctionnelle et série
(Oral Centrale)
Trouver les {f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})} telles que : {\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}
Trouver les {f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})} telles que : {\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}
Une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Une somme de série de fonctions
Série de fonctions, télescopique
(Oral Centrale)
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Dérivabilité de la fonction Zeta
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Une équation fonctionnelle
(Oral Centrale)
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.