Lemmes de Borel-Cantelli
On démontre ici les deux lemmes de Borel-Cantelli.
Espaces probabilisés
Événements presque sûrs ou négligeables
Exercices sur le thème « événements presque sûrs ou négligeables »
Quatre pions sur trois cases
On dispose au hasard quatre pions sur trois cases (assez grandes pour contenir tous les pions).
Quelle est la probabilité qu’une case au moins soit vide?
Quelle est la probabilité qu’une case au moins soit vide?
Formule du crible
Trois exercices sur le thème « formule du crible ».
Somme de probabilités
Soit {A,B,C} trois événements. Simplifier :{\mathbb{P}(A\cup B)\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup B)\!+\!\mathbb{P}(A\cup\overline{B})\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup\overline{B})\!=3\!}Ensuite on généralise ce résultat.
Unions dénombrables
Un exercice sur les unions ou intersections dénombrables d’ensembles
Ensembles non dénombrables
Trois exercices sur le thème « ensembles non dénombrables ».
Un événement négligeable
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n}} des v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)}.
Soit {A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement « une infinité de {A_{n}} sont réalisés ».
Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.
Soit {(X_{n})_{n}} des v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)}.
Soit {A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement « une infinité de {A_{n}} sont réalisés ».
Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.
Probabilité de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?
Majoration d’une probabilité
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(A_{k})_{1\leq k\leq n}} des événements mutuellement indépendants. Soit {B} l’événement :
« aucun des événements {A_k} n’est réalisé ».
Montrer que {\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}.
Soit {(A_{k})_{1\leq k\leq n}} des événements mutuellement indépendants. Soit {B} l’événement :
« aucun des événements {A_k} n’est réalisé ».
Montrer que {\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}.
Lancer de dés pipés
(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?